а координатна система, щодо якої речовина передбачається нерухомим (супутні координати). Постулюється ортогональность часу до цього простору. Передбачається, що сам простір має постійної кривизною (позитивної або негативної), залежної тільки від часу. При таких припущеннях квадрат елементарного інтервалу може бути написаний у вигляді
, (1)
де є квадрат елемента довжини на сфері або псевдосфері одиничного радіуса (на сфері при позитивній кривизні і на псевдосфері Лобачевського при негативній кривизні). Вибір координат на сфері та псевдосфері неістотний; Фрідман приймає у разі сфери
(2)
і у випадку псевдосфери
. (3)
Рівняння тяжіння Ейнштейна Фрідман пише у вигляді
. (4)
Він використовує, таким чином, рівняння, що містять космологічну постійну.
Вирішуючи рівняння (4) при зроблених ним припущеннях, Фрідман досліджує як стаціонарний випадок R=const, так і нестаціонарний випадок R=R (t). У стаціонарному випадку (позитивна кривизна) призводить до дещо узагальненим рішенням Ейнштейна і де Ситтера.
Більший інтерес представляють результати Фрідмана, що відносяться до нестаціонарному нагоди. У цьому випадку буде M=M (t), і вводячи, згідно з рівнянням, замість t нову змінну можна без обмеження спільності звести задачу до випадку M=1. Тоді при позитивно кривизні для R (t) виходить рівняння
(5)
і при негативній кривизні рівняння
, (6)
де A - постійна, пов'язана з щільністю співвідношенням
. (7)
При позитивному знаку постійної A виходить рішення з позитивною щільністю. Тим самим доведена можливість нестаціонарних рішень, відповідних постійної (як позитивною, так і негативною) кривизні «супутнього» простору. У цьому й полягає основний результат робіт Фрідмана.
Ці результати мають велику цінність для науки. Згодом знайдені Фрідманом рішення космологічних рівнянь отримали застосування в астрономії. Особливо важливе значення цих результатів виявилося, коли було відкрито (Хабблом та іншими) червоне зміщення у спектрах віддалених галактик, витлумачене як допплерівський ефект від розширення Всесвіту.
.3 Рішення Геделя
Математик Курт Гедель, більш відомий своєю теоремою про неповноту, працюючи в Прінстонському Інституті перспективних досліджень разом з Альбертом Ейнштейном, зацікавився його рівняннями загальної теорії відносності і зміг знайти їх точне рішення [3].
Як і будь лоренцеве простір-час, рішення Геделя можна задати метричним тензором в системі локальних координат:
, (8)
де, - ненульова речова постійна, що представляє собою кутову швидкість, виміряну необертовим спостерігачем, двигающимся разом з однією з частинок пилу.
Метрика Геделя описує стаціонарну Всесвіт, що обертається з постійною ненульовий швидкістю. У той час як астрономічні спостереження, з одного боку, переконливо свідчать про постійне розширення Всесвіту, а з іншого боку - не дають безперечних свідчень на користь обертання Всесвіту. Також Всесвіт Геделя допускає існування замкнутих у петлі траєкторій по координаті часу. Іншими словами, автор статті строго показав, що існує можливість повернутися в минуле, хоча і дуже віддалене. При деяких умовах Всесвіт може повертатися до свого початкового стану і надалі в точності повторювати раз за разом вже пройдені цикли. А це порушує причинно-наслідкові зв'язки явищ і таким чином суперечить фундаментальним уявленням фізичної науки про пристрій навколишнього світу.
Незважаючи на те, що теорія Геделя згідно сучасним науковим поглядам відчуває ряд труднощів з точки зору фізичної обгрунтованості, досі будуються на її основі подібні моделі, що намагаються вирішити деякі проблеми.
.4 Рішення Шварцшильда
Існує єдине в силу теореми Біркхофа сферично симетричне точне рішення рівнянь Ейнштейна без космологічної константи в порожньому просторі. Це рішення отримало назву метрики Шварцшильда і, незважаючи на те, що вона у своїй простій формі записи слабо відповідає реальній картині світу, на її основі будувалися інші космологічні моделі. Зокрема, ця метрика досить точно описує гравітаційне поле відокремленої невращающейся і незарядженою чорної дірки і гравітаційне поле зовні від відокремленого сферично симетричного масивного тіла.
Рішення рівнянь Ейнштейна, знайдене Карлом Шварцшильда, можна записати в наступному вигляді:
. (9)
Їм повністю визначається гравітаційне поле в порожнечі, створюване будь-яким центрально-симетричним розподілом мас. Необхідно підкреслити, що це рішення справедливо не тільки для покояться, але і для рухомих мас, якщо тільки рух теж володіє належною симетрією (прикладом цієї нагоди можуть служити центрально-симетричні пульсації). Істотним т...
