"> k=9r2-8r1 + 15d k=225r3-1792r1-2016r2 + 105p
Відповіді: 86; k=225r3-1792r1-2016r2 + 105p.
Отже, нами отримана формула для k. Але в ній крім r1, r2, r3 присутній целочісленноеd. Виникає закономірне питання: чи завжди чіслоkбудет визначатися єдиним чином, якщо воно менше 100? Менше 150? 43? і так далі.
Китайська теорема про залишки
Китайська теорема про залишки (КТО) - кілька пов'язаних тверджень, сформульованих у трактаті китайського математика Сунь Цзи (IIIв.н.е.) і узагальнених ЦіньЦзюшао (XVIIIв.н.е.) в його книзі « Математичні міркування в 9 розділах ». Звучить вона так:
Нехай числа M1, M2, ..., Mk - попарно взаємно прості, і M=M1 * M2 * ... * Mk .Тогдасістема
x? B1 (modM1)? B2 (modM2)
...
x? Bk (modmk)
має єдине рішення серед чисел {0,1, ..., M - 1}.
Простіше кажучи, відповідь буде завжди однозначним, якщо шукане число туристів менше твори дільників, на які його ділять. Повертаючись до задачі № 4, ми говоримо, що їх буде можливо порахувати, якщо їх загальна кількість не буде перевищувати 104. (М - 1=3 * 5 * 7-1=104). Так значить, що б порахувати людина, відштовхуючись від нашої формули необхідно обчислити 225r3-1792r1-2016r2, а потім віднімати від нього число 105 до тих пір, поки ми не отримаємо число менше 105, але більшу 0. Це довго і незручно. Та й, чесно кажучи, число близько ста осіб можна порахувати і не використовуючи такі складні алгоритми.
Найпростіші нелінійні діофантови рівняння
Діофант повністю проаналізував невизначені рівняння другого ступеня з двома невідомими. Для рішення рівнянь і систем більш високих ступенів він розробив ще більш тонкі і складні методи, які привертали увагу багатьох європейських математиків Нового часу. Але практично всі рівняння цього типу в рамках шкільного курсу вирішуються методом розкладання на множники.
Приклад № 2: Вирішити в цілих числах уравненіеx2-3xy + 2y2=7.
Рішення:
x2-xy - 2xy + 2y2=7;
x (x-y) - 2y (x-y)=7;
(x - 2y) (x-y)=7
Очевидно, що ми можемо отримати число 7 наступними способами: 1 * 7=7; 7 * 1=7;- 1 * (- 7)=7;- 7 * (- 1).
Тоді складемо і вирішимо систему рівнянь:
x - 2y=1 x=13y=7y=6y=7 x=- 5y=1 y=- 6y=- 1 x=- 13y=- 7 y=- 6y=- 7 x =5y=- 1 y=6
Відповідь: (13; 6), (- 5; - 6), (- 13; - 6), (5,6).
Приклад № 3: Довести, що рівняння x5 + 3x4y - 5x3y2-15x2y3 + 4xy4 + 12y5=33 не має цілочисельних коренів.
Рішення:
x4 (x + 3y) - 5x2y2 (x + 3y) + 4y4 (x + 3y)=33;
(x4- 4x2y2 + 4y4-x2y2) (x + 3y)=33;
(x2 (x2-y2) - 4y2 (x2-y2)) (x + 3y)=33;
(xy) (x + y) (x + 2y) (x - 2y) (x + 3y)=33;
Якщо у=0, тоді вихідне рівняння прийме вигляд x5=33. Тоді x не є цілим. Значить, при у=0 дане рівняння не має цілих рішень. Якщо, y? 0, то всі п'ять множників в лівій частині рівняння різні. З іншого боку число 33 можна представити у вигляді добутку максимум чотирьох різних множників (33=1 · 3 · 11 або 33=- 1 · 3 · (- 11) · (- 1) і т.д.). Отже, при y? 0данное рівняння також не має цілих рішень.
Десята проблема Гільберта
Так чи інакше, виникає питання: будь Чи диофантово рівняння можна вирішити, тобто знайти його корені або довести їх відсутність.
серпня 1900 відбулася II Міжнародний конгрес математиків. На ній Давид Гільберт запропонував 23 завдання. Десята звучала так:
Нехай задано диофантово рівняння з довільними невідомими і цілими раціональними числовими коефіцієнтами. Вказати спосіб, за допомогою якого можливо після кінцевого числа операцій встановити, вирішуване Чи це рівняння в цілих раціональних числах.
Безліч світлих умів XX-ого століття билися над цим завданням: АксельТуе, ТуральфСкулем, Еміль Пост, Джулія Робінсон, Мартін Девіс і Хіларі Патнем, Мартіна Девіса та інші. І лише в 1970 році Юрій Матіясевіч завершілдоказательство алгоритмічної нерозв'язності цього завдання.
Давид Гільберт (23 січня 1862 - 14 лютого 1943) - німецький математик-універсал, вніс значний внесок у розвиток багатьох областей математики. У 1910-1920-і роки (після смерті Анрі Пуанкаре) був визнаним світовим лідером математиків. У 1970 р Міжнародний астрономічний союз присвоїв ім'я Гільберта крате...
