тягом нескінченно малого проміжку часу dt дорівнює просто. Час? називають часом релаксації, або часом вільного пробігу; воно відіграє фундаментальну роль в теорії провідності металів. З цього припущення випливає, що електрон, вибраний навмання в даний момент часу, буде рухатися в середньому протягом часу? до його наступного зіткнення і вже рухався в середньому протягом часу? з моменту попереднього зіткнення. У найпростіших додатках моделі Друде вважають, що час релаксації не залежить від просторового положення електрона і його швидкості.
1.1.4 Четверте припущення
Передбачається, що електрони приходять у стан теплової рівноваги зі своїм оточенням виключно завдяки сутичкам. Вважається, що зіткнення підтримують локальне термодинамічна рівновага надзвичайно простим способом: швидкість електрона відразу ж після зіткнення не пов'язана з його швидкістю до зіткнення, а направлена ??випадковим чином, причому її величина відповідає тій температурі, яка превалює в області, де відбувалося зіткнення. Тому чим більш гарячою є область, де відбувається зіткнення, тим більшою швидкістю володіє електрон після зіткнення.
Теорія металів Зоммерфельда
За часів Друде і потім протягом багатьох років цілком розумним здавалося припущення, що розподіл електронів за швидкостями збігається з розподілом у звичайному класичному газі з щільністю описується в стані рівноваги при температурі T формулою Максвелла - Больцмана. При такому припущенні число електронів в одиниці об'єму, швидкості яких лежать в інтервалі dV центром у V, одно, де:
. (2.1)
Подібне припущення у поєднанні з моделлю Друде призводить до результатів, согласующимся по порядку величини з законом Видемана-Франція; разом з тим з нього випливає також, що електрони повинні давати великий внесок у теплоємність металу, рівний 3/2 на один електрон. Такий внесок виявлений не був.
Протягом чверті століття цей парадокс викликав сумніви в справедливості моделі Друде, які розсіялися лише після створення квантової теорії і визнання того факту, що для електронів в силу принципу заборони Паулі розподіл Максвелла - Больцмана має бути замінене розподілом Фермі - Дірака:
(2.2)
Тут - постійна Планка, поділена на 2, а - температура, обумовлена ??з умови нормування:
, (2.3)
і рівна зазвичай десяткам тисяч градусів. При цікавлять нас температурах (нижче К) і при електронних щільностях, типових для металу, розподіл Фермі - Дірака надзвичайно сильно відрізняється від розподілу Максвелла - Больцмана (рис. 2.1).
Відразу ж після відкриття того, що для пояснення зв'язаних станів електронів в атомах необхідний принцип заборони Паулі, Зоммерфельд застосував цей принцип до вільного електронного газу в металах, що дозволило позбутися найбільш кричущих термодинамічних протиріч вихідної моделі Друде. У більшості випадків модель Зоммерфельда являє собою просто модель класичного електронного газу Друде з єдиною відмінністю: розподіл електронів за швидкостями описується статистикою Фермі - Дірака, а не Максвелла - Больцмана. Щоб обгрунтувати використання розподілу Фермі - Дірака і виправдати його включення в класичну у всіх інших відносинах теорію, нам необхідно вивчити квантову теорію електронного газу.
Для простоти викладу ми спочатку розглянемо властивості електронного газу в основному стані (т. е. при T=0), а потім вже перейдемо до вивчення відмінних від нуля температур. Виявляється, що такі властивості мають великий самостійний інтерес: ми побачимо, що для електронного газу з щільністю, типової для металів, кімнатна температура фактично є дуже низькою і тому в багатьох випадках можна вважати, що T=0. Завдяки цьому багато (хоча і не все) параметри, що характеризують електронні властивості металів, мають навіть при кімнатній температурі практично ту ж саму величину, що і при T=0.
Малюнок 2.1. а - розподілу Максвелла - Больцмана і Фермі - Дірака при типових металевих щільностях і кімнатній температурі. б - ті ж розподілу в інтервалі в інтервалі від х=0 до х=10, побудовані в іншому масштабі.
2.1 Зоммерфельдовская теорія провідності в металах
Щоб знайти розподіл за швидкостями для електронів в металі, розглянемо малий елемент об'єму dk близько точки k в k-просторі. З урахуванням дворазового спінового виродження число одноелектронних рівнів у цьому елементі об'єму одно:
(2.4)
Імовірність заповнення кожного рівня є, тому повне число електронів в елементі об'єму k-простору одно:
. (2.5)
Оскільки швидкість вільного електрона з хвильовим вектором до є, число електронів в елементі об'єму dV поблизу V збігається з числом електронів в обсязі близько точки. Отже, повне число електронів в розрахунку на одиницю об'єму в реальному просторі, що міст...
