иться в елементі простору швидкостей dV поблизу V, дорівнює:
, (2.6)
. (2.7)
Зоммерфельд заново розглянув модель Друде, замінивши усюди класичний розподіл за швидкостями Максвелла - Больцмана (2.1) розподілом Фермі - Дірака (2.7). Використання квантового розподілу за швидкостями в класичній у всіх інших відносинах теорії вимагає певного обгрунтування. Класичне опис руху електрона можливо в тому випадку, коли його координата і імпульс можуть бути виміряні з необхідною точністю без порушення принципу невизначеності.
Типовий електрон в металі має імпульс порядку, тому, щоб класичний опис було хорошим, невизначеність імпульсу електрона повинна бути малої проти. Оскільки, невизначеність координати повинна задовольняти співвідношенню:
, (2.8)
де відповідно до (1.2) має порядок середньої відстані між електронами, тобто становить кілька ангстремів. Тому класичний опис неможливо, якщо доводиться розглядати електрони, які локалізовані на відстанях порядку міжатомних (також рівних декільком ангстремах). Однак електрони провідності в металі не прив'язані до конкретних іонам, а вільно пересуваються за обсягом металу. У макроскопічних зразках в більшості випадків немає необхідності задавати їх координати з точністю до см. У модїли Друде знання координат електрона істотно в наступних двох відносинах:
. Коли до металу прикладена змінна електромагнітне поле або ж градієнт температури, ми повинні бути в змозі вказати координати електрона з точністю до відстаней, малих порівняно з характерним масштабом?, На якому змінюється поле або градієнт температури. У більшості практичних випадків прикладені поля і градієнти температури не змінюються істотно на відстанях порядку ангстрема, тому досягнення необхідної точності при вимірюванні координати електрона не призводить до неприпустимо великої невизначеності в його імпульсі. Наприклад, електричне поле світлової хвилі видимого діапазону істотно змінюється лише на довжині близько?. Однак коли довжина хвилі має набагато меншу величину (як, наприклад, у рентгенівських променів), то для опису руху електронів, викликаного таким полем, необхідно використовувати квантову механіку.
. У моделі Друде неявним чином передбачається також, що електрон можна локалізувати на відстанях, набагато менших довжини вільного пробігу l; зважаючи на це не слід довіряти таким класичним міркуванням, в яких довжина вільного пробігу набагато менше 10?. На щастя, виявляється, що в металах при кімнатній температурі довжина вільного пробігу порядку 100? і зростає з пониженням температури.
Таким чином, існує широкий клас явищ, коли поведінка окремого електрона в металі добре описується класичною механікою. Проте далеко не очевидно, що поведінка N таких електронів також можна описати класично. Дійсно, якщо принцип Паулі так сильно впливає на статистику N електронів, то чому б йому не надавати настільки ж глибокого впливу на їх динаміку? Насправді це не так, що видно з наступної елементарної теореми, що приводиться мною без докази.
Розглянемо систему з N електронів, які не взаємодіють один з одним і піддаються впливу довільного електромагнітного поля, що залежить як від просторових координат, так і від часу. Нехай у нульовий момент часу шляхом заповнення якихось N одноелектронних рівнів утворено деякий N-електронний стан. Нехай є той рівень, в який за час t під впливом електромагнітного поля перетворився б рівень, якби мався всього один електрон, що знаходився в нульовий момент часу на рівні. Тоді в момент часу t відповідне N-електронний стан буде утворено заповненням N одноелектронних рівнів.
Отже, щоб повністю визначити динамічну поведінку системи з N невзаимодействующих електронів, досить розглянути N незалежних одноелектронних завдань. Зокрема, якщо класичне наближення справедливо для кожної з цих одноелектронних задач, то воно справедливо і для всієї N-електронної системи.
Використання статистики Фермі - Дірака впливає лише на ті передбачення моделі Друде, для одержання яких необхідно знати розподіл електронів за швидкостями. Якщо величина, що характеризує частоту зіткнень електрона, не залежить від його енергії, то зміна рівноважної функції розподілу впливає лише на обчислення довжини вільного пробігу електрона, а також на розрахунок теплопровідності і термоелектрорушійної сили.
2.1.1 Середня довжина вільного пробігу
Використовуючи як типовою швидкості електрона можна оцінити середню довжину вільного пробігу:
. (2.9)
Питомий опір при кімнатній температурі складає від 1 до 100 мкОм? см, а величина зазвичай лежить в межах від 2 до 6; отже, навіть при кімнатній температурі середня довжина вільного пробігу може бути порядку сотні ангстремів.
2.1.2 Tеплопроводност'
Для оцінки теплопровідності скористаємося наступною фо...
