ння.
Так називаються рівняння виду. За допомогою заміни змінної z (x) = y (x)/X це рівняння може бути зведене до рівняння з відокремлюваними змінними. Дійсно, тоді
y = пЂ x Г— пЂ z, пЂ пЂ Гћ пЂ y Вў ; пЂ = пЂ (x Г— пЂ z) Вў пЂ Гћ пЂ y Вў пЂ = пЂ z пЂ« пЂ xz Вў
В
і для функції z (x) отримуємо рівняння із перемінними
В
Вирішивши це рівняння, знайдемо функцію z (x), а з нею і рішення вихідного рівняння y (x) = xz (x).
Приклад 1 . Знайти рішення рівняння
Рішення . Дозволимо рівняння відносно похідної
В
і позначимо. Тоді й для функції z (x) отримуємо рівняння:
В
Це рівняння з відокремлюваними змінними.
В
Висловимо в ньому похідну через диференціали і розділимо змінні
В
Тепер проинтегрируем обидві частини останнього рівняння
В
Звідси
В
Підставивши в останню рівність z = y/x , знайдемо спільне рішення вихідного рівняння
В
Приклад 2 . Вирішити завдання Коші
В
Звідси z = 2 arctg ( Cx) і, значить, y = 2 x Г— arctg ( Cx). Підставивши в це
рівність початкові умови x = 1 і y = ПЂ/2 , отримаємо arctg (C) = ПЂ/4, тобто С = 1 . Рішенням задачі Коші є функція y = 2x Г— arctgx.
Лінійні рівняння.
Так називаються диференціальні рівняння виду
В
y Вў пЂ пЂ« пЂ p (x) y = пЂ q (x).
Рішення цього рівняння будемо шукати у вигляді добутку двох функцій y (x) = u (x) v (x). Тоді y Вў пЂ = пЂ u Вў v пЂ« пЂ uv Вў і щодо функцій u і v рівняння прийме вигляд
В
u Вў v пЂ« пЂ u (v Вў пЂ пЂ« пЂ p (x) v) = пЂ q (x).
Замість однієї невідомої функції y (x) ми ввели в розгляд дві функції u і v , тому однією з них ми можемо розпорядитися на свій розсуд. Виберемо функцію v так, щоб доданок в дужках у лівій частині останнього рівняння зверталося в нуль. Для цього в якості v достатньо взяти якесь рішення рівняння з відокремлюваними змінними
В
v Вў пЂ пЂ« пЂ p (x) v = пЂ 0 .
Поділяючи змінні і інтегруючи, отримаємо
В
Таким чином, в якості v досить взяти функцію
В
При цьому ми можемо вважати, що константа, що виникає в результаті обчислення інтеграла, дорівнює нулю. При такому виборі функції v для функції u отримуємо рівняння
, або
Інтегруючи останнє рівняння, одержимо
В
Коли функції u і v знайдені, загальне рішення лінійного рівняння знаходиться без праці y = uv.
Рівняння Бернуллі.
Природним узагальненням лінійного диференціального рівняння першого порядку є рівняння Бернуллі
y Вў пЂ пЂ« пЂ p (x) y = пЂ q (x) y пЃЎ пЂ .
Метод його рішення такий же, як і метод рішення лінійного рівняння.
