мі називаються перехресними, якщо вони не паралельні і не перетинаються.
рівносильно визначення таке: дві прямі називаються перехресними, якщо вони не лежать в одній площині.
На рис. 3 показані перехресні прямі a і b.
Рис. 3. Перехресні прямі
Важливий факт полягає в тому, що через два перехресні прямі можна провести дві паралельні площині.
Всі три розглянутих варіанти взаємного розташування прямих можна бачити в трикутній призмі (рис. 4).
Рис. 4. Взаємне розташування двох прямих
Саме, прямі AB і BC перетинаються (лівий малюнок); прямі BC і паралельні (малюнок у центрі); прямі AB і схрещуються (правий малюнок).
Глава 3. Взаємне розміщення прямої і площини
.1 Пряма паралельна площині
Пряма паралельна площині, якщо вона не має з площиною спільних точок. На рис. 5 пряма l паралельна площині р.
Рис. 5. Пряма паралельна площині
Ознака паралельності прямої і площини: якщо пряма l паралельна деякій прямій, що у площині, то пряма l паралельна цій площині.
Давайте подивимося, як працює ця ознака. Нехай - трикутна призма, в якій проведена площину BC (рис. 6).
Рис. 6. Пряма паралельна площині НД
Оскільки бічні грані призми є паралелограма, маємо? BC. Але пряма BC лежить у площині BC. Тому в силу ознаки паралельності прямої і площини ми укладаємо, що пряма паралельна площині BC. Інша важлива твердження, яке нерідко використовується в задачах, - це теорема про перетин двох площин, одна з яких проходить через пряму, паралельну іншій площині.
Теорема. Нехай пряма l паралельна площині р. Якщо площина у проходить через пряму l і ??перетинає площину р по прямій m, то m? L.
Рис. 7. До теоремі
Якщо пряма паралельна площині, то точка (а, значить, і будь-яка точка цієї прямий) не задовольняє рівнянню площині:.
Таким чином, умова паралельності прямої і площини записується наступною системою:
. 2 Пряма перетинає площину
Якщо пряма не лежить в площині і не паралельна їй, вона перетинає площину.
Пряма перетинає площину тоді і тільки тоді, коли її спрямовує вектор НЕ ортогонален вектору нормалі площини.
З твердження випливає, що скалярний добуток lt; # 19 src= doc_zip138.jpg / gt;.
У координатах умова запишеться наступним чином:
Якщо ж дані вектори ортогональні, тобто якщо їх скалярний добуток lt; # 21 src= doc_zip140.jpg / gt ;, то пряма або паралельна площині, або лежить в ній:
Важливим окремим випадком перетину прямої і площини є їх перпендикулярність.
Інтуїтивно вам абсолютно ясно, що значить «пряма перпендикулярна площині», але визначення потрібно знати обов'язково.
Припустимо, в конкретній задачі нам хочеться довести, що пряма l перпендикулярна площині р. Як діяти? Не будемо ж ми перебирати всі прямі, що лежать в площині р! На щастя, це й не потрібно. Виявляється, достатньо пред'явити дві пересічні прямі площині р, перпендикулярні прямий l.
. 3 Пряма лежить у площині
Пряма лежить у площині, якщо кожна точка прямої належить цій площині. На малюнку 8 пряма l лежить в площині р. У такому випадку говорять ще, що площина р проходить через пряму l.
Рис. 8. lр
Якщо пряма лежить у площині, то точка (а, значить, і будь-яка точка цієї прямий) задовольняє рівнянню площині:.
Аналітичні умови даного випадку запишуться схожою системою:
Практична частина
Завдання 1
Дано вершини трикутника A (- 2; 0), B (2; 4), C (4; 0). Скласти:
) параметричні і канонічні рівняння трьох сторін;
) в загальному вигляді рівняння медіани АЕ і висоти АD.
Рішення:
Рис. 9 до задачі.
) Знайдемо спрямовує вектор боку АВ:
АВ={2- (- 2); 4-0}={4; 4}, для складання параметричних рівнянь боку АВ, використовуємо координати точки А і вектора АВ за формулою
або
- параметричні рівняння боку АВ
Аналогічно для сторін НД і АС:
==, ==
- параметричні рівняння боку НД
- параметричні рівняння боку АС.
Щоб записати рівняння сторін у канонічному вигляді скористаємося формулою: =, для сторони АВ підставимо координати направляючого вектора АВ і замість координати точки А, отримаємо:
=або=- канонічні рівняння боку АВ.
Аналогічно для сторін НД і АС:
=- кано...
