нічні рівняння боку НД
=або=- канонічні рівняння боку АС.
) Знайдемо координати точки Е, як середину відрізка НД
=== 3, === 2= gt; E (3; 2), за формулою
=, для точок А і Е отримуємо:
=; =5y; 2x - 5y + 4=0 - загальне рівняння медіани АЕ.
Так як висота АD перпендикулярна стороні НД скористаємося ознакою перпендикулярності двох прямих ·=- 1.
Перепишемо канонічні рівняння боку НД в загальному вигляді, отримаємо 2x + y - 8=0, висловимо звідси y, одержимо рівняння боку НД з кутовим коефіцієнтом у вигляді y=- 2x + 8, звідси=- 2, значить, за формулою ), для координат точки А і отримаємо:
y - 0=(x + 1); 2y=x + 2 або x - 2y + 2=0 рівняння висоти АD. Інакше: нормальний вектор прямої НД n {2; 1} є направляючим
вектором висоти АD, за формулою=для координат точки А і вектора n, отримаємо:
=; x + 2=2y; x - 2y + 2=0 рівняння висоти АD.
Відповідь: 1) AB:, =;
BC:, =;
AC: =;
) AE: 2x - 5y + 4=0;
AD: x - 2y + 2=0.
Завдання 2
Скласти рівняння прямої, що проходить через точки.
Рішення:
Знайдемо направляючий вектор прямої:
=
Рівняння прямої складемо по точці і направляючим вектору ():
=; )=0
Виконаємо перевірку:
підставимо координати точки в отримані рівняння:
=; 0
Отримано вірні рівності. Підставами координати точки:
=; 0
Отримано вірні рівності.
Висновок: канонічні рівняння прямої складені правильно.
Відповідь:=
Завдання 3
Скласти канонічні рівняння прямої по точці і направляючим вектору
Рішення:
Канонічні рівняння прямої складемо за формулою:
.
Відповідь:.
Завдання 4
Скласти параметричні рівняння наступних прямих:
а) =;
б);
в) x=0; y - 6=0.
Рішення:
Прямі задані канонічними рівняннями і на першому етапі слід знайти якусь точку, що належить прямій, і її спрямовує вектор.
а) З рівнянь=знімаємо точку і спрямовує вектор: (- 4; 0; 5),.
Складемо параметріческіе рівняння даної прямої:
б) Розглянемо канонічні рівняння;. Вибір точки тут нескладний:
Запишемо спрямовує вектор, а на місце, що залишилося поставимо нуль: (0; 7; - 3) ..
Складемо параметричні рівняння прямої:
в) Перепишемо рівняння у вигляді
тобто «z» може бути будь-яким. А якщо будь-яким, то нехай, наприклад,. Таким чином, точка належить даній прямій. Для знаходження направляючого вектора використовуємо наступний формальний прийом: у вихідних рівняннях знаходяться «x» і «y», і в спрямовуючий векторі на даних місцях записуємо нулі:. На місце, що залишилося ставимо одиницю:. Замість одиниці підійде будь-яке число, крім нуля.
Запишемо параметричні рівняння прямої:
Відповідь: а); б); в)
Завдання 5
З'ясувати взаємне розташування двох прямих
:==,:==.
1) Витягуємо з рівнянь точки і напрямні вектори:
:=== gt; (- 4; - 5; 6), (- 2; 4; 6)
:=== gt; (0; 1; - 3), (1; - 2; - 3)
) Знайдемо вектор:=(0- (- 4); 1- (- 5); - 3-6)=(4; 6; - 9)
) Обчислимо мішаний добуток векторів:
(·=- 2 · - + 4 ·=
=- 2 · (18 + 18) - (- 36-36) + 4 · (- 12 + 12)=- 72 + 72 + 0=0
Таким чином, вектори компланарні, а значить, прямі лежать в одній площині і можуть перетинатися, бути паралельними або збігатися.
) Перевіримо напрямні вектори (- 2; 4; 6), (1; - 2; - 3) на коллинеарность.
Складемо систему з відповідних координат даних векторів:
З кожного рівняння випливає, що л=-, отже, система сумісна, відповідні координати векторів пропорційні, і вектори колінеарні.
Висновок: прямі паралельні або збігаються.
) З'ясуємо, чи є у прямих спільні точки. Візьмемо точку (- 4; - 5; 6), що належить першої прямої, і підставимо її координати в рівняння прямої:
==,
? 3?- 3
Таким чином, спільних точок у прямих немає, значить вони паралельні.
Відповідь:?.
Завдання 6
Знайти точку перетину прямих
:==,:==.
Рішення:
Перепишемо рівняння прямих в параметричній формі:
:,:
Точка перетину прямих M (належить прямій тому її координати задовольняють параметричним рівнянням даної прямої, і їм відповідає цілком конкретне значення параметра:
M:
Але ця ж точка належить і другий прямий, отже:
M:
Прирівнюємо відповідні рівняння і проводимо спр...
