;
Рішення.
Використовуючи ознака Лейбніца, отримаємо
; ,
т.е. ряд сходиться.
Розглянемо ряд, складений з абсолютних величин членів даного ряду:
.
Це геометричний ряд виду, де, який сходиться. Тому даний ряд сходиться абсолютно.
;
Рішення.
Використовуючи ознака Лейбніца, маємо
;
,
т.е. ряд сходиться.
Розглянемо ряд, складений з абсолютних величин членів даного ряду:
, або
.
Це узагальнений гармонійний ряд, який розходиться, так як. Отже, даний ряд сходиться умовно.
знакозмінний ряд збіжність доданок
. Дії над рядами
Маючи справу з сумою кінцевого числа доданків, можна міняти доданки місцями і розставляти дужки - від цього результат не зміниться.
Числовий ряд - це сума нескінченного числа доданків, і дії потрібно виробляти з оглядкою на цей факт.
Як ми переконаємося далі, абсолютно сходяться ряди повністю копіюють поведінку суми кінцевого числа доданків, а умовно збіжні - ні.
. 1 Розставлення дужок
Під розставлених дужок у ряді розуміють буквально наступне: нехай є послідовність
З побудови видно, що часткова сума ряду є деякою часткової сумою ряду. Якщо вихідний ряд сходиться, то і ряд з розставленими дужками сходиться до тієї ж сумі. Зворотне невірно: розглянемо ряд з розставленими дужками
Але ряд без дужок є розбіжним.
Легко встановити факт: сходитися ряд з розставленими дужками, в кожній скобці якого стоять доданки одного знака, сходиться і без розставлених дужок.
3.2 Перестановка доданків ряду
Уточнимо, що розуміється під перестановкою доданків ряду. Нехай - біекція.
Дан ряд. Розглянемо ряд. Отриманий ряд називається перестановкою ряду за правилом.
Твердження:
Нехай ряд з сходиться к. Тоді
У силу позитивності ряду часткові суми обмежені.
,
отже, часткові суми обмежені, і так як всі
.
Міняючи місцями вихідний ряд на переставлений і навпаки, отримуємо нерівність, отже,.
Теорема:
Нехай ряд абсолютно сходиться. Тоді будь-яка його перестановка сходиться до тієї ж сумі.
Доказ:
За лінійності суми ряду розкладемо вихідний ряд на суму двох допоміжних:
.
Для умовно збіжних рядів ситуація змінюється. Має місце теорема Рімана (наводиться без доведення):
Теорема (Ріман):
Нехай ряд з умовно сходиться. Тоді для будь-якого з існує така перестановка, що.
. 3 Формула Ейлера
Наведемо приклад умовно сходиться ряду і його перестановку, яка зменшує суму ряду в два рази.
Встановимо наступну формулу:
Теорема (Ейлер):
Виконується рівність:
,
де називається постійної Ейлера
Доказ:
Розглянемо інтеграл
Скористаємося тим, що:
За монотонності:
Отже, ряд є позитивним і мажоріруется сходящимся поруч. Значить, цей ряд сходиться.
У виразі при граничному переході і отримуємо шукану формулу, позначаючи
. 4 Перестановка, яка змінює суму ряду
Твердження:
Предс?? авленний ряд сходиться, так як є поруч Лейбніца. Нехай він сходиться до, тоді, але:
Переставимо ряд наступним чином: за кожним доданком з непарним номером пишемо два послідовні доданків з парними номерами
Твердження:
Сума цього ряду дорівнює
Оскільки загальне доданок р...
