>
Де - коефіцієнти Фур'є функцій при розкладанні їх у ряд по косинусам на інтервалі (0, l):
Покажемо, що ряд
Сходиться
Його можна почленно диференціювати і ряди похідних рівномірно сходиться
Чи задовольняють рівнянню (1.1), граничним і початковим умовам.
Для цього нам знадобиться наступна лема [2]
Нехай - речова постійна і фіксоване число з інтервалу. Тоді справедливі такі оцінки:
Якщо і, то
Якщо і, то
де - постійні, незалежні від z.
А також теорема [12].
Нехай функції мають в [0, l] безперервну похідну, причому - кусочно неперервна, то
Оцінимо загальний член ряду (1.11)
т.к. ряд - сходиться, то вихідний ряд сходиться рівномірно, в області t, де - будь-яке позитивне число.
) Ряди похідних будуть мати вигляд:
Рівномірна збіжність цих рядів доводиться аналогічно. З чого випливає можливість дворазового і дрібного почленного диференціювання ряду (1.11) та застосування узагальненого принципу суперпозиції, тобто функція обумовлена ??поруч (1.11) задовольняє рівнянню (1.1).
) Очевидно, що функція, обумовлена ??поруч (1.11)
задовольняє рівнянню (1.11).
Підставами в (1.11) значення
Рішення завдання при має вигляд:
Тобто, при отримуємо рішення задачі
задовольняти умовам:
§2. Змішана крайова задача. Апріорна оцінка
В області розглянемо задачу
(2.3)
Отримаємо апріорну оцінку, для чого помножимо рівняння (2.1) скалярно на
де
Перетворимо доданки, що входять в тотожність (2.4) з урахуванням граничних умов (2.3).
Тут ми скористалися нерівністю Коші-Буняковського
- нерівністю Юнга
Підставляючи отримані співвідношення в тотожність (2.4), отримаємо
Проинтегрируем остання нерівність по від 0 до t:
(2.5)
де
Введемо позначення:
,
, тоді
звідси
.
Використовуючи формулу для гамма-функції
для вихідного інтеграла отримаємо
.
Помінявши порядок інтегрування, матимемо
.
Користуючись формулою Лейбніца, отримуємо що
,
бо маємо суму двох невід'ємних доданків: і.
З урахуванням вище викладеного, з (2.5) маємо:
Введемо позначення
Тоді наше нерівність прийме вигляд
Надалі нам потрібно наступна лема з [6]:
Лемма. Нехай неотрицательная абсолютно неперервна функція задовольняє для майже всіх t з [0, T] нерівності,
де підсумовувані на [0, T] невід'ємні функції. Тоді
Застосовуючи лему, отримуємо:
Звідки випливає оцінка
З якої слід єдиність рішення задачі (2.1) - (2.3).
Література
Геккіева С.Х. Крайові задачі для навантажених параболічних рівнянь з дробовою похідною за часом: Дис.... К.ф-м.н.- Нальчик, 2003. - 75.
Джабашян М.М. Інтегральні перетворення і представлення функцій в комплексній області. М., 1996.
Керефов М.А. Крайові задачі для модифікованого рівняння влагопереноса з дробовою за часом похідної: Дис.... К.ф.-м.н.- Нальчик, 2000. - 75.
Кочубей А.Н. Дифузія дробового порядку//діференціальной рівняння. 1990. Т. 26, №4. С. 660-670.
Кочубей А.Н. Задача Коші для еволюційного рівняння дробового порядку//Диференціальні рівняння. 1989. Т.25, №8. С. 1359-1368.
Ладиженська О. А. Крайові задачі математичної фізики. М.:Наука, 1973. 407 с.
Нахушев А.М. Рівняння математичної біології.- М .: Вища школа, 1995. - 301 с.
Нахушев А.М. Дробове числення та його застосування.-М .: Фізматліт, 2003. 272 ??с.
Псху А.В. Крайова задача для диференціального рівняння з приватними похідними дробового порядку//Докл. Адигські (черкеска) Міжнародної академії наук. 2000. Т. 5, №1. С. 45-53.
Псху А.В. Крайові задачі для диференціального рі...
