(k) рішення системи нелінійних рівнянь xi *. Введемо в розгляд поправку Dxi як різницю між рішенням і його наближенням:
,
Підставами отриманий вираз для xi * у вихідну систему.
Невідомими в цій системі нелінійних рівнянь є поправки Dxi. Для визначення Dxi потрібно вирішити цю систему. Але вирішити цю задачу так само складно, як і вихідну. Однак цю систему можна линеаризовать , і, вирішивши її, отримати наближені значення поправок Dxi для даного наближення, тобто Dxi (k). Ці поправки не дозволяють відразу отримати точне рішення, але дають можливість наблизитися до вирішення, - отримати нове наближення рішення
,
Для лінеаризації системи слід розкласти функцію fi до лав Тейлора в околиці xi (k), обмежуючись першими диференціалами.
Отримана система має вигляд:
,
Всі коефіцієнти цього рівняння можна обчислити, використовуючи останнім наближення рішення xi (k). Для вирішення системи лінійних рівнянь при n=2,3 можна використовувати формули Крамера, при більшої розмірності системи n - метод виключення Гаусса.
Значення поправок використовуються для оцінки досягнутої точності рішення. Якщо максимальна за абсолютною величиною поправка менше заданої точності e, розрахунок завершується. Таким чином, умова закінчення розрахунку:
Можна використовувати і середнє значення модулів поправок:
У матричній формі систему можна записати як:
де:, - матриця Якобі (похідних),
- вектор поправок
- вектор-функція
W (X (k)) - матриця Якобі, обчислена для чергового наближення.
F (X (k)) - вектор-функція, обчислена для чергового наближення.
Висловимо вектор поправок? X (k) з:
де W - 1 - матриця, зворотна матриці Якобі.
Остаточно формула послідовних наближень методу Ньютона розв'язування СНУ в матричній формі має вигляд:
Достатні умови збіжності для загального випадку мають дуже складний вид, і на практиці перевіряються рідко. Потрібно відзначити, що метод сходиться дуже швидко (за 3 - 5 ітерацій), якщо det | W |? 0 і початкове наближення X (0) вибрано близьким до вирішення (відрізняються не більше ніж на 10%).
Алгоритм розв'язання СНУ методом Ньютона полягає в наступному:
1) Здається розмірність системи n, необхідна точність?, початкове наближене рішення.
) Обчислюються елементи матриці Якобі
) Обчислюється зворотна матриця.
) Обчислюється вектор функція,,.
) Обчислюються вектор поправок
) Уточнюється рішення
) Оцінюється досягнута точність
) Перевіряється умова завершення ітераційного процесу ???
Якщо воно не дотримується, алгоритм виконується знову з пункту 2.
Для зменшення кількості арифметичних дій Рафсона запропонував не обчислювати зворотну матрицю W - 1, а обчислювати поправки як рішення СЛУ:, даний метод отримав назву метод Ньютона-Рафсона.
Перевагою методів Ньютона є швидка збіжність, недоліками - складність розрахунків (обчислення похідних, багаторазове рішення системи лінійних рівнянь), сильна залежність від початкового наближення.
. 2.1 Приклад рішення системи рівнянь за допомогою методу Ньютона
Використовуючи метод Ньютона, вирішити систему нелінійних рівнянь з точністю до 0,002.
Відділення коренів виробляємо графічно.
Для побудови графіків функцій, складемо таблицю значень функцій, що входять в перше і друге рівняння.
Таблиця 5
x - 1,1-1-0,8-0,6-0,4-0,20,20,40,5x21,2110,640,360,160,040,040,160,250.8x20,970,800,510,290,130,030,030,130,201-0.8x20,030,200,490,710,870,970,970,870,80 0,020,130,330,470,580,650,650,580,53y20,150,370,570,690,760,800,800,760,731.2x - 1,32-1,2-0,96-0,72-0,48-0,240,240,480,60.4 + 1.2x - 0,92-0,8-0,56-0,32-0,080,160,640,8812x-y - 1,17-0,93-0,59-0,33-0,080,160,691,081,57y1-1,03-1,07-1,01-0,87-0,72-0,56-0,29-0,28-0,57
Значення для x можна брати виходячи з таких умов:
з першого рівняння - 1 lt; 1.2x + 4 lt; 1, тобто- 1.16 lt; x lt; 0.5;
з другого рівняння - lt; x lt ;, тобто- 1.12 lt; x lt; 1.12.
Таким чином, - 1.12 lt; x lt; 0.5.
Система має два рішення. Уточнимо одне з них, що належить області D: 0.4 lt; x lt; 0.5;- 0.76 lt; y lt;- 0.73.
За початкове наближення приймемо x 0=0.4; y 0=- 0.75.
Маємо такі системи:
Рис. 4
Знайдемо елементи матриці Якобі, де, і з...
