демо системи рівнянь з яких визначимо невідомі коефіцієнти і складемо таблицю 3.
Таблиця 3 - Таблиця коефіцієнтів
Граничні условіяКоеффіціентиТочние значення коефіцієнтів
Вихідні функції приймають вид
Дані криві будуть єдиними кривими можливого екстремуму функціоналу з даними граничними умовами (див. додаток А).
2.2.1 Рішення крайової задачі Діріхле (1-го роду)
Дану задачу також називають - найпростішої варіаційної завданням. У задачі потрібно знайти функцію, що доставляє екстремум функціоналу
при умовах.
Якщо граничні умови однорідні, тобто , То найпростіше в якості базисних функцій вибрати функції, що задовольняють цим умовам:, Наприклад:
де - які-небудь безперервні функції. Очевидно, що при цьому і апроксимація
за будь-яких задовольнятиме граничним умовам.
Якщо умови неоднорідні, наприклад, де хоча б одне з чисел або відмінно від нуля, то рішення варіаційної задачі потрібно шукати у вигляді
причому задовольняє заданим граничним умовам.
2.2.2 Рішення крайової задачі Неймана (2-го роду)
Маємо лінійне диференціальне рівняння 2-го порядку:
Граничні умови, якого:
Вихідна задача еквівалентна знаходженню функції, що задовольняє граничним (крайовим) умовам і минимизирующую функціонал.
де - задана функція, що має безперервні похідні по і.
Для граничних умов завдання еквівалентна окремого випадку крайової задачі Неймана (2-го роду). Загальний вигляд якої:
Умови екстремуму:
і граничні умови
Для того щоб функціонал досягав на функції екстремуму, необхідно, щоб ця функція задовольняла рівнянню Ейлера і умовам трансверсальності. Функція, яку надалі необхідно буде підставити в функціонал, повинна мати вигляд
Перевіримо, чи задовольняє функція рівнянню Ейлера і умовам трансверсальності:
Запишемо вихідну задачу в варіаційної формулюванні:
Маємо однуфіксовану?? очку, а іншу - рухливу. Для першої повинна виконуватися умова а для другої точки - умова як умова трансверсальності.
Останнє буде виконуватися автоматично, реалізуючи умови мінімуму функціоналу. Тому відповідно до
в даному випадку, а в якості - будь лінійно незалежні функції, рівні нулю при.
Покладемо
Підставами функцію у функціонал інтегруючи, отримаємо функцію, залежну від невідомих коефіцієнтів, але вже не залежну від
Вирішимо задачу мінімізації функції трьох змінних для
Отримаємо систему з трьох рівнянь з трьома невідомими
Вирішуючи дану систему, ми знаходимо невідомі коефіцієнти
Таким чином, наближене рішення даної задачі має вигляд (див. додаток Б)
Процес збіжності та точність рішення відображені в таблиці 2.
Таблиця 2
2.0 0.9194860.9435890.9650420.9838461.0 - 0.78136941560.02737674162 0.9221260.9393410.6933920.9862791.0 - 0.78176090740.00946810176 0.9224570.9384550.9645490.9864251.0 - 0.78183372950.00262807040 0.9224840.9386770.9646130.9862531.0 - 0.78184083010
.2.3 Рішення змішаної крайової задачі (третій роду)
Маємо лінійне диференціальне рівняння 2-го порядку:
Граничні умови, якого:
Вихідна задача еквівалентна знаходженню функції, що задовольняє граничним (крайовим) умовам і минимизирующую функціонал.
де - задана функція, що має безперервні похідні по і.
Для граничних умов завдання еквівалентна окремого випадку змішаної крайової задачі (третій роду). Загальний вигляд якої
Умови екстремуму:
і граничні умови
Для того щоб функціонал досягав на функції екстремуму, необхідно, щоб ця функція задовольняла рівнянню Ейлера і умовам трансверсальності. Функція, яку надалі необхідно буде підставити в функціонал, повинна мати вигляд
Перевіримо, чи задовольняє функція рівнянню Ейлера і умовам трансверсальності:
Запишемо вихідну задачу в варіаційної формулюванні:
Маємо одну фіксовану точку, а іншу - рухливу. Для першої повинна виконуватися умова а для другої точки - умова як умова трансверсальності. Останнє буде виконуватися автоматично, реалізуючи умови мінімуму функціоналу. Тому відповідно до
