,
доповнюються початковими умовами
Початкові умови є наслідком передісторії системи і разом з диференціальними рівняннями повністю визначають поведінку автономної системи. У разі автономних систем з дискретним часом будемо мати однорідні різницеві рівняння:
.
середу на вході системи моделюється автономними системами - генераторами впливів або перетворювачами типових впливів - фільтрами. Поширеними типовими сигналами, моделирующими детерміноване дію, є поодинокі імпульсна і ступінчаста функції. Прикладом типового випадкової дії є так званий В«білий шумВ». Середа може моделюватися динамічної системою того ж класу, що і сама система управління. Однак часто розглядаються детерміновані системи з випадковими впливами на вході.
1.3. Способи побудови моделей
Залежно від характеру та обсягу апріорної інформації про об'єкт дослідження виділяють два способу побудови моделей систем управління у формах, прийнятих в теорії управління: аналітичний та експериментальний.
Аналітичний спосіб застосовується для побудови моделей об'єктів добре вивченою природи. У цьому випадку мається вся необхідна інформація про властивості об'єкта, але вона представлена ​​⠳ншій формі. В результаті ідеалізації фізичних об'єктів з'являються структурні моделі в вигляді схем із зосередженими компонентами (рис.2, а ). Типовими представниками фізичних систем, що допускають таке подання, є електричні та механічні об'єкти. На рис.2, б зображена електрична схема; рис.2, в представляє собою приклад механічної поступальної системи.
В
p> Подібні схеми є моделями, в яких інформація про цікавлять властивості об'єкта представлена ​​у наочній формі з використанням графічних образів, що відображають фізичну природу явищ, пристрій і параметри об'єктів. На таких моделях базуються відповідні дисципліни, наприклад, теоретична електротехніка та теоретична механіка. Принципові схеми - стаціонарні лінійні моделі з зосередженими компонентами.
Методи теорії управління абстрагуються від конкретної природи об'єктів і оперують більш загальними - математичними (символьними) моделями.
Аналітичний спосіб моделювання складається з етапу побудови схеми об'єкта і її подальшого перетворення в математичний опис необхідної форми. При цьому принципові проблеми моделювання вирішуються на першому - неформальному етапі. Другий етап виявляється процедурою перетворення форм представлення моделей. Це дає можливість розробити різні комп'ютерні програми, що дозволяють автоматизувати складання рівнянь за схемами.
Розглянемо приклади складання диференціальних рівнянь електричного і механічного об'єктів. Обмежимося класом лінійних стаціонарних моделей. p> Існують три типи пасивних електричних двухполюсников - опір R , ємність З і індуктивність L , описувані наступними рівняннями для струмів i ( t ) і напруг u ( t ):
В
;
В
Активними двухполюсника електричних схем є джерело напруги і джерело струму .
Рівняння зв'язку двухполюсников в конкретній схемі виражаються законами Кірхгофа, що представляють собою умови безперервності струмів і рівноваги напруг:
В· перший закон - сума струмів в будь-якому вузлі дорівнює нулю;
В· другий закон - сума напружень в будь-якому контурі дорівнює нулю.
Розглянемо приклад електричної схеми, зображеної на рис.2, б . Нехай виходом схеми є напруга на ємності. У Відповідно до першого закону маємо:
.
Другий закон для єдиного контуру запишеться так:
.
Висловлюючи напруги і через:
;,
отримаємо диференціальне рівняння другого порядку
.
Розглянемо механічну систему (рис.2, в ). Пасивними двухполюсника механічних схем є механічний опір В , маса М і пружність K , описувані наступними рівняннями для сил f і переміщень x або швидкостей v :
;
;
.
Ідеальними джерелами механічної енергії є джерело швидкості і джерело сили . Рівняння зв'язків механічних двухполюсников висловлюють умови рівноваги сил і безперервності переміщень (швидкостей). Згідно з наведеними раніше рівняннями механічних двухполюсников і рівняннями зв'язків записують диференціальне рівняння для переміщень:
.
Цього однорідному рівнянні відсутня права частина, що описує зовнішній вплив на механічну систему, тобто вона автономна. Вільні рухи автономної системи є наслідком ненульових початкових умов, наприклад початкового зміщення х (...
