діє на маятник, F = - bv , v - швидкість маятника, b - коефіцієнт опору середовища, в якій знаходиться маятник. Так як розглядаємо тільки лінійні системи, b = const , k = const . x - зміщення маятника від положення рівноваги. <В
(другий закон Ньютона)
Дане рівняння і є диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань пружинного маятника. Прийнято записувати його в наступному, так званому канонічному вигляді:
В
В
- коефіцієнт загасання, - власна частота вільних (незатухаючих) коливань пружинного маятника, то, що раніше ми позначали просто w. p> Рівняння затухаючих коливань в такому (канонічному) вигляді описує затухаючі коливання всіх лінійних систем; конкретна коливальна система відрізняється тільки виразами для b і j 0 .
2. Рухи маятника з різними механізмами загасання
При дослідженні власних коливань передбачається відсутність зовнішнього середовища. Наявність середовища призводить до появи диссипативной сили, яка, як ми показали, поступово зменшує спочатку передану системі енергію. Це виражається через зменшення власної частоти коливань П‰ 0 , також як поступовим зменшенням амплітуди коливань.
Примітка: щоб уникнути плутанини нумерація формул залишиться такою ж як у науковій літературі. [6]
Нехай на нестійке тіло діє сила мокрого тертя:
,
Рівняння руху частинки прийме наступний вигляд:
, (1.35)
де
В
. (1.36)
Підставляючи останнє в (1.35), отримаємо:
(1.37).
Так як отримане рівняння вірно для довільного моменту часу, то вираз в дужках повинно бути нулем. Останнє дає для невідомої величини наступне значення
(1.38)
де
, (1.39)
Враховуючи (1.38), рішення (1.36) прийме наступний вигляд:
, (1.40)
Отримане рівняння руху описує затухаючі коливання, де і - постійні, які визначаються з початкових умов.
Залежно від співвідношення коефіцієнта тертя і частоти власних коливань, затухаючі коливання поділяються на два класи. Вони відповідають випадкам періодичного і непериодического загасання.
Періодичне загасання. Воно здійснюється при слабких силах тертя:
, (1.41)
коли величина (1.39) дійсна. У цьому випадку рішення (1.40) виражається формулою (у дійсної формі)
, (1.42)
Графічно це коливання представлено на малюнку (див. додаток 2) і є коливанням з постійною частотою (1.39), але спадної з плином часу амплітудою. У цьому сенсі це не тільки не гармонійне, але навіть і не періодичне коливання, оскільки коливання не повторюються в тому ж вигляді. Тим не менш, зручно говорити про період цих коливань, розуміючи під цим проміжок часу
, (1.43)
Говорячи В«амплітуда згасаючих коливань В»розуміють величину
, (1.44)
яка є максимальне зміщення частинки відносно положення рівноваги під час коливань. З виразу (1.44) випливає, що за час, (1.45) амплітуда убуває в раз. Цей проміжок часу називається часом загасання, а - декрементом загасання.
Найбільш об'єктивною характеристикою загасання коливань є логарифмічний декремент, який є відношенням періоду коливань (1.43) до часу загасання (1.45)
, (1.46)
Легко помітити, що логарифмічний декремент дорівнює натуральному логарифму відносини двох наступних амплітуд:
, (1.47)
Визначимо число N коливань, протягом яких амплітуда коливань убуває в, раз:
В
звідки випливає, що
, (1.48)
На підставі цього співвідношення можна експериментально визначити логарифмічний декремент загасання, вважаючи відповідне число коливань.
Неперіодичне загасання. При сильному терті
(1.49)
величина (1.43) стає уявної. У цьому випадку зручно представити (1.42) так:
, (1.50)
, (1.51)
У розглянутому випадку рішення (1.42) прийме вигляд:
, (1.52)
яке не описує якесь коливання, а являє експоненціональное спадання зміщення від положення рівноваги (див. додаток 3). Неперіодичне загасання маятника можна спостерігати, якщо помістити його в сильно в'язку середу (гліцерин, мед).
Спеціальним випадком непериодического загасання є випадок, коли. У цьому випадку рішення рівняння (1.35) виражається у вигляді:
, (1.53).
Висновок
Метою даної курсової роботи було вивчення коливань маятника з різними механізмами загасання. Для реалізації поставленої мети передбачалося вирішення низки завдань, що дозволило зробити наступні висновки:
На підставі аналізу існуючої літератури дано визначення вихідних теоре...
