ідним характеристикам деякої еталонної системи. Міра близькості динамічних характеристик у таких процедурах розрахунку визначає відповідність між розподілами коренів характеристичних рівнянь проектованої і еталонної систем. p> У теорії автоматичного управління широкий розвиток отримали методи синтезу замкнутих систем, засновані на вирішенні оптимізаційних задач з використанням різних функціоналів, які характеризують якість процесів управління. Велике число процедур було розроблено для параметричної оптимізації систем регулювання за критерієм мінімуму інтегральних квадратичних оцінок, введених А.А. Красовським ще в 40-і роки. p> За визначенню інтегральними квадратичними оцінками розглянутої системи є:
- оцінка нульового порядку,
пЂ - оцінка першого порядку, p> - оцінка порядку n ,
де x ( t ) - вихідна змінна, що характеризує стан системи - її похідні; n - порядок системи. Величини постійні і мають розмірність часу. p> Для обчислення інтегральних квадратичних оцінок розроблені різні прийоми і способи, які можна в навчальній літературі з теорії автоматичного регулювання. p> Задача формулюється таким чином. Задана структура динамічної системи; деякі параметри системи є варійованими, а інші повинні залишатися незмінними. Потрібно знайти такі значення змінних параметрів, при яких реалізується мінімум небудь інтегральної квадратичної оцінки. Сформульована задача є задачею параметричної оптимізації динамічної системи. Знайдені в результаті її вирішення параметри іменуються оптимальними, а систему з такими параметрами називають оптимальною за перехідному процесу. p> Схема рішення задачі параметричної оптимізації в аналітичній формі така. Нехай є ті параметри, які необхідно визначити з умови реалізації мінімуму прийнятої інтегральної квадратичної оцінки. Вираз для оцінки пЂ пЂ містить невідомі параметри. Оптимальні значення параметрів визначаються з рівнянь. Практично параметрична оптимізація проводиться із застосуванням чисельних методів, так як в аналітичному вигляді рішення може бути отримано в найпростіших випадках. Вирази для виявляються громіздкими, а рівняння для оптимальних параметрів нелінійних. p> Однак, як показано в роботах А.А. Красовського і А.А. Фельдбаум, оптимальність системи за інтегральним квадратичним критерієм рівнозначна тому, що помилка системи як функція часу підпорядковується в процесі управління відповідного диференціального рівняння. p> Дійсно. Нехай стан системи характеризується вихідної змінної x ( t ) і її похідними). Передбачається, що порядок системи дорівнює n . Нехай у початковий момент
,, ..., (1.1)
Приймається, що власний рух системи асимптотично стійко. Тоді при система прагне до положенню рівноваги: ​​
(1.14)
Розглянемо оцінку і знайдемо таку функцію x ( t ), яка задовольняє граничним умовам (1.1), (1.2) і доставляє мінімум інтегралу. Позначимо через підінтегральний вираз в. Тоді відповідно до теорії варіаційного обчислення необхідна умова екстремуму (мінімуму) інтеграла буде мати вигляд
(1.3)
Це диференціальне рівняння називається рівнянням Ейлера-Пуассона. З урахуванням вирази для можна знайти
В
і, крім того,
В
Отже, рівняння (1.3) буде
(1.4)
Таким чином, екстремаль x ( t ), на якій інтеграл звертається в мінімум, є рішенням диференціального рівняння (1.4) близько 2 n . При цьому x ( t ) повинна задовольняти граничним умовам (1.1) і (1.2). Характеристичне рівняння, яке відповідає (1.16), таке:
В
Воно володіє тим властивістю, що його коріння попарно симетричні відносно початку координат комплексної площини p , тобто корінню, відповідають коріння,. На цій підставі рішення (1.4) можна записати у вигляді
(1.5)
де постійні, повинні бути такими, щоб виконувалися граничні умови. p> Нехай для визначеності коріння такі, що
,,
У цьому випадку постійні в (1.5) повинні бути рівними нулю в силу того, що згідно (1.2) при функція і її похідні прагнуть до нуля. Таким чином, вираз для екстремал повинно бути
. (1.6)
Однак відомо, що, обумовлена формулою (1.6), є рішення одного диференціального рівняння n -го порядку
(1.7)
Коефіцієнти цього рівняння однозначно виражаються через коріння по формулами Вієта. p> Зазначимо, що початковими умовами для рівняння (1.7) є (1.1). p> З наведеного аналізу випливає, що екстремаль інтеграла при граничних умовах (1.1), (1.2) є рішенням однорідного диференціального рівняння (1.7), порядок якого дорівнює порядком оптимизируемой системи. На цій підставі можна зробити висновок, що параметрична оптимізація системи за критерієм мінімуму інтегральної квадратич...
