ної оцінки виконується з умови, щоб вихідна змінна x ( t ) системи у вільному русі змінювалася в часі з написаним законом, обумовленому диференціальним рівнянням (1.7). Це в свою чергу означає, що завдання параметричної оптимізації можна розглядати як зворотну задачу динаміки, формулируемое наступним чином: динамічна система заданої структури має варійовані параметри; потрібно знайти такі значення цих параметрів, при яких рух системи проходить по запропонованої траєкторії, яка визначається диференціальним рівнянням виду (1.7). p> Практично не завжди виявляється можливим провести параметричний синтез системи з умови, щоб її вихідна змінна x ( t ) в точності дорівнювала змінної, яка є екстремали минимизируемого функціоналу. У більшості випадках параметри шукаються з умови найкращого (в -якому сенсі) наближення x ( t ) і. Дуже часто в якості міри наближення використовують визначені інтеграли:
В
і інші. Тут - відхилення вихідної змінної оптимизируемой системи від екстремальної кривої;, - похідні за часом;, - позитивні числа. Вираз (1.7) являє собою, по суті справи, також інтегральні оцінки, записані для відхилень траєкторії синтезируемой системи від призначеної. p> У прикладних задачах параметричної оптимізації не завжди використовуються інтегральні квадратичні оцінки, порядок яких дорівнює порядку диференціального рівняння оптимизируемой системи. Дуже часто параметричний синтез проводять за квадратичним оцінками першого і другого порядку. У таких випадках параметри системи визначаються з умови, щоб вихідна змінна x ( t ) наближалася до вирішення диференціального рівняння першого або відповідно другого порядку. p> Таким чином, вимога оптимальності системи по перехідному процесу в сенсі мінімуму інтегральної квадратичної оцінки рівносильно вимогу, щоб вихідна змінна системи в її вільному русі змінювалася відповідно до рішення однорідного диференціального рівняння порядку m .
У Останнім часом при аналізі та синтезі систем автоматичного управління широке застосування знайшли спектральні методи, які базуються на спектральних характеристиках сигналів, що значно спрощує вирішення задач теорії управління з використанням ЕОМ. Нижче розглянемо теоретичні основи застосування спектральних методів при вирішенні завдань теорії управління.
Застосування спектрального методу для вирішення обернених задач динаміки
Розглянемо рішення спектральним методом зворотної задачі динаміки в такій постановці. p> Відома система автоматичного управління (регулювання), яка може бути як стаціонарної, так і нестаціонарної, і робота якої описується таким диференціальним рівнянням:
(2.1)
де
- сигнал на виході системи;
- сигнал на вході системи;
- коефіцієнти диференціального рівняння, що є функціями часу.
При цьому невідомі деякі параметри налаштування системи управління, які необхідно визначити в процесі виконання завдання. Позначимо безліч цих параметрів через де - їх число. Тоді коефіцієнти диференціального рівняння будуть залежати від і, отже можна записати;
(2.2)
Заданий еталонний сигнал на інтервалі або його спектральна характеристика, який необхідно отримати на виході системи (2.2). У загальному випадку можуть бути задані ненульові початкові умови:
(2.3)
Для заданих диференціального рівняння (2.2), еталонного вихідного сигналу і початкових умов (2.3) необхідно визначити вхідний сигнал і шукані сигналу на виході отримали б сигнал, максимально параметри налаштування такими, що при подачі на вхід системи автоматичного управління знайденого вхідного у відомому сенсі наближений до еталонного. p> У якості міри близькості реального сигналу на виході системи (2.2), (2.3) до еталонному сигналу на інтервалі приймемо наступний функціонал
(2.4)
Невідомий вхідний сигнал будемо шукати у формі його спектрального розкладання в ряд по деякому базису ортонормованих функцій;
В
де коефіцієнти, невідомі і їх необхідно визначити.
Отже вхідний сигнал буде залежати від часу і від безлічі параметрів Тоді диференціальне рівняння (2.2) можна записати у наступному вигляді
(2.5)
Інтегруючи рівняння разів з урахуванням початкових умов, одержимо
(2.6)
Скориставшись справедливим для будь-якої неперервної функції тотожністю
В
рівність (2.6) можна переписати у вигляді
(2.7)
Інтегруючи отримане рівність (2.7) по частинах і застосовуючи формули
В
отримаємо br/>
(2.8)
де
В В
Рівняння (2.8) являє собою рівняння Вольтера 2-го роду. Перетворимо його до інтегрального рівняння Фредгольма 2-го роду на інтервалі дослідження:
(2.9)
де
<...
