p> При n> 2 рівняння
x + y = z (10)
не має рішень.
Надаємо читачам можливість довести, що з цього твердження випливає відсутність і раціональних рішень рівняння (10) при n> 2. p> Незважаючи на зовнішню простоту формулювання теореми, до цих нір невідомо, справедлива вона чи ні, хоча над її доказом трудилися багато поколінь математиків Порожнисте гріх століть. Досить імовірно, що й сам Ферма не знайшов суворого докази цієї теореми. Пропонував ж він довести лише окремий випадок цієї теореми для п = 4. А він випливає з твердження, виведеного Ферма на полях В«АрифметикиВ»: площа пифагорова трикутника не може бути квадратом. Ми не будемо наводити докази цього твердження, але покажемо, що з нього дійсно випливає відсутність натуральних рішень рівняння
x 4 + y 4 = z 4 (11)
Якщо х і y - довжини катетів пифагорова трикутника, то знайдуться взаємно прості числа р і q різної парності (p> q), такі, що x = 2kpq, y = k (p ВІ-q ВІ) і s = 1/2xy = k 2 pq (р 2 - q 2 ). Зауважимо, що множник p ВІ-q ВІ взаємно простий з числами р і q . Тому число s = k 2 pq (p 2 -q 2 ) є квадратом тоді і тільки тоді, коли кожен з множників р, q і p 2 -q 2 - є квадратом: р = а 2 , q = b 2 , p 2 - q 2 = c 2 , звідки
a 4 -b 4 = c 2 . (12)
Але оскільки немає такого пифагорова трикутника, площа якого виражається квадратом, то рівняння (12) не має натуральних рішень. Тоді таких рішень не має і рівняння (11). Насправді якби трійка (b, с, a) була натуральним рішенням (11), тобто b 4 + з 4 = а 4 , то а 4 - b 4 = (з 2 ) 2 і трійка (а, b, з 2 ) була б вирішенням рівняння (12).
Арифметика кілець цільних алгебраїчних чисел використовується також у ряді інших завдань Діофантових рівнянь. Так, наприклад, її методами детально досліджено рівняння виду N (a1x1 + ... + anxn) = m, де N (a) - норма алгебраїчного числа a, і відшукуються цільні раціональні числа x1, x2, ..., xn, що задовольняють вишенапісанного рівнянню.
Способи рішення діофантових рівнянь
Найбільш вивчені діофантови рівняння першої та другого ступеня. Розглянемо спочатку рівняння першого ступеня. Так як рішення лінійного рівняння з одним невідомим не представляє інтересу, то звернемося до рівнянь з двома неізвестнимі.Ми розглянемо два методи вирішення цих рівнянь.
Перший спосіб вирішення таких рівнянь-алгоритм Евкліда. Можна знайти найбільший дільник натуральних чисел a і b, що не розкладаючи ці числа на прості множники, застосовуючи процес розподілу із залишком . Для цього треба розділити більше з цих чисел на менше, потім менше з чисел на залишок при першому розподілі, потім залишок при першому діленні на залишок при другому поділі та вести цей Прицесса доти, поки не відбудеться поділ без залишку. Останній відмінний від нуля залишок і є шуканий НСД (a, b). Щоб довести це твердження, уявімо описаний процес у вигляді наступного ланцюжка рівностей: якщо a> b, то
а = bq0 + r1,
b = r1q1 + r2
r1 = r2q2 + r3 (1)
rn-1 = rnqn.
Тут r1, ...., rn-позитивні залишки, убуваючі із зростанням номера. З першої рівності випливає, що загальний дільник чисел a і b ділить r1 і загальний ділітель b і r1 ділить а, тому НСД (a, b) = НОД (r1 , R2) = .... = НСД (rn-1, rn) = НСД (rn, 0) = rn.Обратімся знову до системи (1). З першої рівності, висловивши залишок r1 чірез а і b, отримаємо r1 = а-bq0. Підставляючи його в друге рівність, знайдемо r2 = b (1 + q0q1)-aq1. Продовжуючи цей процес далі, ми зможемо висловити всі залишки через а і b, в тому числі і останній rn = Аа + Вb. У результаті нами доведено пропозиція: якщо d-найбільший загальний дільник натуральних чисел а і b, то знайдуться такі цілі числа А і В, що d = Аа + Вb. Помітимо, що коефіцієнти А і В мають різні знаки; якщо НСД (a, b) = 1, то Аа + Вb = 1. Як знайти числа А і В видно з алгоритму Евкліда. p> Перейдемо тепер до вирішення лінійного рівняння з двома невідомими. Воно має вигляд:
аx + by = c. (2)
Можливі два випадки: або c ділиться на d = НСД (a, b), або ні. У першому випадку можна розділити обидві частини на d і звести задачу до вирішення в цілих числах рівняння a1x + b1y = c1, коефіцієнти якого а1 = а/d і b1 = b/d взаємно прості. У другому випадку рівняння не має цілочисельних рішень: при будь-яких цілих x і y число аx + by ділиться на d і тому не може дорівнювати числу з, яке на d не ділиться. Отже, ми можемо обмежитися випадком, коли в рівнянні (2) коефіцієнти взаємно прості. На підставі попередньої пропозиції знайдуться такі цілі числа x0...
