clear=ALL>
де знак служить символічним позначенням різниці між значеннями первісної функції F (b) і F (а).
Приклад 1.
В
Приклад 2.
В
Приклад 3.
В
Таким чином, формула Ньютона-Лейбніца використовується для обчислення визначеного інтеграла так:
1). Знаходиться первісна для даної подинтегральной функції.
2). Обчислюються приватні значення первообразной підстановкою значень x = a і x = b, де b - верхній і a - нижній межі інтегрування.
3). Визначається різниця приватних значень первообразной F (b) - F (а). p> Властивості певного інтеграла
Довизначивши поняття визначеного інтеграла при a ≥ b наступними рівностями:
В
Сформулюємо деякі властивості певного інтеграла в припущенні, що подинтегральная функція обмежена на відрізку, по якому вона інтегрується.
1). Якщо функція интегрируема [a; b], то вона інтегровна на
будь-якому відрізку [x 1 ; x 2 ] [a; b].
2). Для будь-яких a, b і c
В
3). Інтеграл володіє властивістю лінійності: для будь-яких функцій f (x) і g (x) і будь-якої постійної A
В В
4). Якщо f (x) і g (x) інтегровними на [a; b], то f (x) В· g (x) також інтегровна на цьому відрізку.
5). Якщо f (x) - періодична функція з періодом T, то для будь-якого a
В
Для певних інтегралів вірні також наступні оцінки (передбачається, що функції f і g інтегровними на [a; b]).
1). Якщо f (x) ≥ g (x), то
В
2). Зокрема, якщо f (x) ≥ 0, то
В
3). Якщо f (x) ≥ 0 для будь-якого х [a; b] і існує х 0 [a; b] таке, що f (x 0 )> 0, причому f (x) неперервна в х 0 то
В
4). | F (x) | інтегровна на [a; b], причому
В
5). Якщо на відрізку [a; b] m ≤ f (x) ≤ M, то
В
Геометричний сенс певного інтеграла
Поняття визначеного інтеграла введено таким чином, що у разі, коли функція y = f (x) неотрицательна на відрізку [a; b], де a
В
чисельно дорівнює площі S під кривою y = f (x) на [a; b] (рис. 3).
В
Рис. 3
Дійсно, при прагненні до нуля ламана (рис. 4) необмежено наближається до вихідної кривої і площа під ламаної переходить у площу під кривою.
В
Рис. 4
Враховуючи сказане, можна вказати значення деяких інтегралів, використовуючи відомі планіметричних формули для площ плоских фігур. Наприклад,
і т.д.
(Перший з інтегралів - площа квадрата зі стороною одиничної довжини; другий - площа прямокутного трикутника, обидва катета якого одиничної довжини; третій - площа чверті кола одиничного радіуса).
Механічний сенс певного інтеграла
Нехай матеріальна точка М переміщається під дією сили, спрямованої уздовж осі Ох і має змінну величину F = F (x), де х - абсциса рухається точки М.
Знайдемо роботу А сили з переміщення точки М вздовж осі Ох з точки х = а в точку х = b (a 0 , х 1 , ..., b = х n (х 0 <х 1 <... <х n ) розіб'ємо на n часткових відрізків [х 0 ; х 1 ], [Х 1 ; х 2 ], ..., [х n -1 ; х n ]. Сила, що діє на відрізку [х i -1 ; х i ], змінюється від точки до точки. Але якщо довжина відрізка О”х i = х i - х i -1 досить мала, то сила на цьому відрізку змінюється незначно. Її можна наближено вважати постійною і рівною значенню функції F = F (x) у довільно обраної точці х = c i [х i -1 ; х i ]. Тому робота, зроблена цією силою на відрізку [Х i -1 ; х i ], дорівнює добутку F (c i ) в€™ О”х i . (Як робота постійної сили F (c i ) на ділянці [х i -1 ; х i ]) .
Наближене значення роботи А сили на всьому відрізку [a; b] є
В
Це наближене рівність тим точніше, чим менше довжина О”х i . Тому за точне значення роботи А приймається межа суми за умови, що найбільша довжина О» часткових відрізків прагне до нуля:
.
Отже, робота змінної сили, величина якій є безперервна функція F = F (x), що діє на відрізку [a; b], дорівнює певному інтегралу від величини F (x) сили, взятому по відрізу [a; b].
У цьому полягає механічний зміст визначеного інтеграла.
Аналогічно можна показати, що шлях S, пройдений точкою за проміжок часу від t = a до t = b, дорівнює певному інтегралу від швидкості v (t):
...
