і ( B , r ), задані відповідно рівняннями:В де і де Для того, щоб ці кола були ортогональні, необхідно і достатньо, щоб або
(4.7)
або
(4.8)
З а д а ч а 7. У площині дано два відрізки AB і CD . Знайдіть безліч точок М , для кожної з яких площі трикутників MAB і MDC рівні (рис. 10).
З а д а ч а 9. На гіпотенузи AB прямокутного трикутника ABC дана довільна точка P . Доведіть, що кола, описані близько трикутників APC і BPC , ортогональні.
Д про до а із а т е л ь с т в о. Приймемо вершину З даного трикутника за початкову точку. Нехай точкам А, В, P відповідають комплексні числа 1, b , p , а центрам кіл РАС і РВС числа (рис. 11). За умовою абоВ . Переходячи до комплексним числам, отримуємо: звідки.
Керуючись (4.6), складемо рівняння кола РВС :
В
або
В
Після розкриття визначника отримуємо:
В
або
В
звідки
В
З рівняння знаходимо:
Аналогічно, для кола Р A З маємо:
В
і
В
звідси
Згідно з критерієм (4.8) для того, щоб окружності РАС і РВС були ортогональні необхідно і достатньо, щоб Враховуючи попередні результати, перевіримо здійснимість даного критерію:
В В
Таким чином, окружності РАС і РВС є ортогональними.
