няння з довільним числом невідомих і раціональними числовими коефіцієнтами. Вказати спосіб, за допомогою якого можливо після кінцевого числа операцій встановити, вирішуване Чи це рівняння в цілих числах ". [7]
Гіпотезу, що такого способу немає, першим висунув (з достатнім на те підставою) американський математик М. Девіс в 1949 р. Доказ цієї гіпотези розтягнулося на 20 років - останній крок був зроблений тільки в 1970 р. Юрієм Володимировичем Матіясеевічем, на першому році аспірантури він показав алгоритмічну нерозв'язність 10 проблеми Гільберта.
Однак, якщо про довільне диофантово рівняння не можна сказати, чи має воно цілі коріння, або ні, то проблема існування цілих коренів ЛДУ вирішена. Наведемо теореми, користуючись якими завжди можна сказати, чи має цілі рішення дане ЛДУ або немає. br/>
2. Про число рішень ЛДУ.
Теорема 1. При взаємно простих коефіцієнтах диофантово рівняння
В
має рішення в цілих числах.
Доказ. Позначимо через безліч тих позитивних чисел, для яких рівняння
В
має рішення в цілих числах. , Очевидно, не порожньо, так як при заданих, можна підібрати цілі значення, такі, щоб було позитивним числом.
У безлічі існує найменше число (- Підмножина натуральних чисел), яке ми позначимо через Позначимо через - цілі числа, такі, що
.
Нехай, де; тоді
В
.
Ми підібрали цілі значення:,В , ...,, Такі, що, але, а - найменше позитивне число в, тобто не може бути позитивним,,,.
Аналогічно отримуємо:, ...,.
Ми бачимо, що - загальний дільник чисел, отже, оскільки,,,, то рівняння вирішуваний в цілих числах.
Теорема 2. Нехай - найбільший спільний дільник коефіцієнтів. Диофантово рівняння має рішення тоді і тільки тоді, коли. Число рішень такого рівняння одно або нулю, або нескінченності.
Доведемо послідовно всі три затвердження теореми.
1). Нехай. Для рівняння
,
де, існують цілі числа: задовольняють йому. Тобто такі, що
.
Тоді
В
тобто - Рішення рівняння. p> 2). Нехай тепер не ділить. Тоді ліва частина рівняння при будь-яких цілих ділиться на, а права на не ділитися, так що рівність при цілих значеннях неможливо.
3). Якщо - упорядкована n-ка чисел, що задовольняє рівнянню, то наприклад, всі n-ки
при
також задовольняють цьому рівнянню і, таким чином, у нас або зовсім не буде рішень, або їх буде безліч.
Якщо хоч одна пара коефіцієнтів взаємно проста, то, і рівняння має незліченну безліч рішень. br/>
3. Знаходження рішень для деяких приватних випадків ЛДУ.
3.1. ЛДУ c однієї невідомої.
Розглянемо лінійне рівняння з однією невідомою, тобто рівняння виду
В
Ясно, що рішенням даного рівняння буде, і рішення буде цілим числом тільки в тому випадку, коли. br/>
3.2. ЛДУ з двома невідомими. <...
