ачення збіжності Знакозмінні рядів існує вельми простий достатній ознака.
Теорема 4.1 . (Достатній ознака збіжності Лейбніца * ).
Для того щоб Знакозмінні ряд (4.1) ((4.2)) сходився, достатньо, щоб абсолютні значення його членів убували і прагнули до нуля при зростанні n .
Таким чином, якщо і те Знакозмінні ряд (4.1) ((4.2)) сходиться.
Приклад 4.1. Ряд
(4.3)
сходяться, т. к. для нього виконуються всі умови ознаки сходімостіЛейбніца.
5. Знакозмінні ряди
Розглянемо числові ряди
(5.1)
з довільними членами, тобто члени ряду можуть бути як позитивними, так і негативними. Такі ряди називаються знакозмінними.
Утворюємо новий ряд, складений з абсолютних величин (модулів) членів ряду (5.1), т. е. ряд
(5.2)
Теорема 5.1. Якщо ряд сходиться, то сходиться і вихідний ряд
Взагалі кажучи, зворотне твердження невірно, тобто з збіжності ряду (5.1) не слід збіжність ряду (5.2). Наприклад, як було показано вище ряд сходиться, в той час як ряд розходиться. br/>
Визначення 5.1. Ряд (5.1) називається абсолютно збіжним , якщо сходиться ряд, складений з абсолютних величин його членів.
Визначення 5.2 . сходитися ряд (5.1) називається умовно сходящимся , якщо ряд (5.2) розходиться.
Таким чином, ряд є абсолютно збіжним .
Абсолютно сходяться ряди володіють тим властивістю, що у них можна будь-яким чином змінювати місцями члени ряду. При такій перестановці будуть виходити також абсолютно сходяться ряди, при цьому сума ряду не змінюється. Як зазначалося у розділі 2, умовно сходяться ряди такою властивістю не володіють. p> Запитання для самоперевірки
В
1. Як визначається сума числового ряду? p> 2. Який ряд називається збіжним (розбіжним)? p> 3. Чи може межа загального члена сходящегося числового ряду дорівнювати 3? p> 4. Що можна сказати про збіжність числового ряду з позитивними членами, якщо ряд сходиться і його сума дорівнює 6.
5. Межа якого виразу використовується в граничному ознаці Даламбера (Коші)? p> 6. Який ряд називається Знакозмінні? p> 7. Яких умов достатньо для збіжності Знакозмінні ряду? p> 8. Який ряд називається знакозмінним? p> 9. Чи буде збіжним знакозмінний ряд, для якого ряд з модулів його членів сходиться?
В
Вправи
1. Знайти суму ряду:
а) , Б) в) br/>
2. Дослідити збіжність ряду, користуючись необхідною ознакою і ознакою порівняння:
а) б) в); г)
3. Дослідити збіжність ряду за граничним ознакою Даламбера:
а) б) в); г).
4. Дослідити збіжність ряду за граничним ознакою Коші:
а) б), в) г).
5. Дослідити, сходяться абсолютно або умовно або розходяться знакозмінні ряди:
а) б) в)
г) . <В
Література
1. Вища математика: Загальний курс: Учеб. - 2-е вид., Перераб. /А. І. Яблонський, О. В. Кузнєцов, Є. І. Шилкина та ін; За заг. ред. С. А. Самаль. - Мн.: Виш. шк., 2000. - 351 с. p> 2. Марков Л. Н., Размисловіч Г. П. Вища математика. Частина 2. Основи математичного аналізу та елементи диференціальних рівнянь. - Мн.: Амалфея, 2003. - 352 с. br clear=all>
* Ріман Георг Фрідріх Бернхард (1826 - 1866), німецький математик. /Span>
[*] Даламбер Жан Лерон (1717 - 1783), французький філософ і математик, один з представників французького освіти XVIII століття.
* Коші Огюстен Луї (1789 - 1857), французький математик. /Span>
* Лейбніц Готфрід Вільгельм (1646 - 1716), видатний німецький філософ і математик.
