"> Для наближеного обчислення приватних похідних другого порядку також можна використовувати формули чисельного диференціювання, наприклад,
(1.1.7)
Приклад 3
Розглянемо задачу Коші для диференціального рівняння першого порядку. Потрібно знайти функцію , певну, безперервну і має приватні похідні першого порядку в області задовольняє диференціальному рівнянню
(1.1.8)
і початковій умові
, . (1.1.9)
Тут Т - задана постійна, а і - задані функції. Якщо ці функції є безперервними, то завдання буде мати єдине рішення - функцію . Це рішення задачі Коші ми будемо називати точним.
Введемо в області D сітку:
В В
Рис. 1
Тут h і - задані кроки сітки, а квадратними дужками позначена операція обчислення цілої частини дійсного числа.
Будемо шукати наближене рішення цього завдання на сітці D. Оскільки є точним рішенням нашої диференціальної крайової задачі, в кожному вузлі сітки буде виконуватися диференціальне рівняння
В
і в кожному вузлі, лежачому на нижній межі області D (), будуть виконуватися початкові умови
.
Замінимо приватні похідні, що входять до диференціальне рівняння, різницевими відносинам (1.1.4) і (1.1.1) і отримаємо в результаті систему наближених рівностей, що пов'язують значення функції в вузлах сітки:
(1.1.10)
, (1.1.11)
Для обчислення наближеного рішення ми отримали наступну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
(1.1.12)
,
, (1.1.13)
Для вирішення системи (10.1.12) - (10.1.13) висловимо з (1.1.12) і отримаємо рекуррентную формулу:
, (1.1.14)
.
Знаючи , з цієї рекуррентной форму...
