лі при послідовно знаходимо , , ..., . Таким чином, система (1.1.12) - (1.1.13), дійсно, має єдине рішення. Але отримати його практично неможливо, оскільки сітка містить незліченну безліч вузлів.
Операторна форма запису диференціальних крайових задач
Введемо загальне позначення для будь диференціальної крайової задачі. Запишемо її у вигляді операторного рівняння:
(1.2.1)
де - шукана функція, , - відкрита область з кордоном , f - задана функція, L - заданий диференційний оператор, який діє на функцію . Будемо вважати, що завдання (1.2.1) має єдине рішення , яке ми надалі будемо називати точним рішенням.
Нехай для вирішення диференціальної крайової задачі складена різницева крайова задача (різницева схема). Запишемо її у вигляді операторного рівняння:
. (1.2.2)
Тут - сіткове рішення різницевої крайової задачі, яке називається також наближеним сітковим рішенням диференціальної крайової задачі .
Приклад 4
Побудова різницевої схеми для змішаної крайової задачі для рівняння параболічного типу.
Потрібно знайти функцію , певну, безперервну і має приватні похідні другого порядку в області , що задовольняє диференціальному рівнянню
, (1.2.3)
початковій умові
, (1.2.4)
і граничним умовам
, , (1.2.5)
, , (1.2.6)
.
Тут Т - задана постійна, а , , , , - задані функції. Диференціальне рівняння (1.2.3) описує процес поширення тепла в прямолінійній стрижні. Тому його називають рівнянням теплопровідності. Будемо вважати, що виконані всі умови, за яких сформульована крайова задача має єдине рішення - функцію .
...
