а знаходять реакцію. br/>
(2.2.17)
Зауважимо, що викладена методика дозволяє при відомою передавальної функції знайти реакцію системи при нульових початкових умовах. Якщо початкові умови не нульові, то при переході від диференціального рівняння до зображень необхідно скористатися зображеннями похідних при ненульових початкових умовах. p align="justify"> На практиці перехід від оригіналів до зображень і назад здійснюється за допомогою таблиці перетворення Лапласа.
Приклади виконання завдань.
Пункт 2
В
Диференціальне рівняння в символьній формі
В
Диференціальне рівняння в класичній формі
В
Однорідне диференціальне рівняння
В
Характеристичне рівняння
В
Характеристичний поліном
В
Пункт 3
Характеристичне рівняння
В
Коріння характеристичного рівняння
В
Загальне рішення диференціального рівняння
В
Пункт 4
В В
Диференціальне рівняння в символічній формі
В
Диференціальне рівняння в класичній формі
В
Однорідне диференціальне рівняння
В
Характеристичне рівняння
В
Характеристичний поліном
В
Передавальна функція
В
Коріння характеристичного рівняння:
В В
Загальне рішення диференціального рівняння
,
де,
В
В
Так як коріння є комплексними попарно сполученими, то характер перехідного процесу є немонотонним (коливальним).
Коріння характеристичного рівняння знаходяться в лівій півплощині. Система стійка. p> Частотну передавальну функцію, або комплексний коефіцієнт посилення W (j), можна ввести двома способами:
1. Шляхом знаходження реакції на синусоїдальний (гармонійний сигнал).
2. За допомогою перетворення Фур'є.
Почнемо з першого способу і знайдемо реакцію системи (2.2.1) на гармонійний сигнал, який представимо в показовій формі
, (2.4.11)
де Хm і - амплітуда і кругова частота.
Так як в лінійній системі відсутні нелінійні спотворення, то в сталому режимі на виході також буде гармонійний сигнал тієї ж частоти, в загальному випадку з іншими амплітудою і фазою, тобто
. (2.4.12)
Для визначення амплітуди і фази підставимо вирази сигналів (2.4.11), (2.4.12) та їх похідних в диференціальне рівняння і після скорочення на еjt 0 і елементарних перетворень отримаємо тотожність
. (2.4.13)
Звідси
(2.4.14)
Ці співвідношення можна розглядати як визначення частотної передавальної функції. У них полягає фізичний зміст частотної передавальної функції і з них витікає спосіб її експериментального знаходження шляхом вимірювання амплітуд гармонійних сигналів на вході і виході і зсуву по фазі між ними для однієї і тієї ж частоти. p> У разі другого способу визначення частотної передавальної функції порівняємо (2.4.13) і (2.2.15). З порівняння випливає, що частотна передатна функція є окремим випадком передавальної функції по Лапласа при р = j, тобто
. (2.4.15)
Так як передавальна функція по Лапласа застосовна до сигналів довільної (будь-який) форми, то і частотна передатна функція застосовна для знаходження реакції на сигнал довільної форми, а не обов'язково гармонійний. З (2.4.5) для Фур'є-зображення реакції маємо
. (2.4.16)
Сама реакція, тобто оригінал, знаходиться за формулою звернення
. (2.4.17)
Таким чином, з другого визначення частотної передавальної функції випливає частотний метод (метод перетворення Фур'є) знаходження реакції:
. Для заданого вхідного сигналу знаходимо зображення за Фур'є
. (2.4.19)
. Знаходимо Фур'є-зображення реакції, використовуючи (2.4.16)
(jw) = X (jw) Г— W (jw). (2.4.20)
. За формулою звернення (зворотного перетворення Фур'є) знаходимо реакцію
. (2.4.21)
Характер перетворення вхідного сигналу ланкою або системою визначається частотної передавальної функцією або відповідними їй частотними характеристиками. Види частотних характеристик тісно пов'язані з формами запису комплексних чисел, оскільки для частотна передатна функція є комплексним числом. p> Основні частотні характеристики (ріс.2.4.3-2.4.6).
. Амплітудно-фазова характеристика (АФХ) - залежність W (jw) на комплексній площині при зміні w від від - ВҐ до + ВҐ (Мал. 2.4.3). Так як Wх (w) = Wх (-w) - парна функція, а Wу (w) = Wу (-w) - непарна фу...
