і похідні
В
в рівняння (2.2.5) і скорочуючи на 0, отримаємо тотожність
А (р) = an pn + ... + a0 = 0, (2.2.8)
яке характеризує спільне рішення і тому називається характеристичним рівнянням (із змінною р = а + jb - комплексним в загальному випадку числом). p> Характеристичне рівняння - це рівняння алгебри n-го ступеня, яка на підставі основної теореми алгебри має n коренів p1, ...., pn .. Коріння в загальному випадку є комплексними. Оскільки коефіцієнти рівняння дійсні, а не комплексні числа, то комплексні корені можуть бути тільки комплексно-сполученими. Тобто кожному кореню виду рi = аi + jbi відповідає зв'язаний корінь (з протилежного за знаком уявної частиною) виду рi +1 = аi - jbi. p> За теоремою Безу характеристичний поліном можна представити у вигляді
D (p) = anpn + ... + a0 = an (p - p1) Г— Г— Г— (p - pn). (2.2.9)
Два комплексно-сполучених множника дають тричлен з дійсними коефіцієнтами [р - (аi + jbi)] [р - (аi - jbi)] = [(p - аi) - jbi] [(p - аi) + jbi] = = (p - аi) 2 + bi2, або p 2 - 2 аi р + (аi2 + bi) 2. Дійсний корінь дає двочлен (р - аi). Отже, у разі дійсних і комплексно-сполучених коренів твір двучленного і тричленів дає многочлен з дійсними коефіцієнтами. Звідси, назад, слід наявність комплексно-сполучених коренів у разі характеристичного полінома з дійсними коефіцієнтами. p> Так як характеристичне рівняння має n коренів, то і сума рішень виду (2.2.7) з різними рi буде задовольняти однорідному диференціального рівняння, тобто бути його рішенням. Тому остаточно спільне рішення слід представити у вигляді суми лінійно-незалежних рішень
, (2.2.10)
де Сi - довільні постійні, залежні від початкових умов.
Перетворення Лапласа.
Для сигналу x (t) (x (t) 0 при t <0) зображення визначається за формулою одностороннього перетворення Лапласа
, (2.2.11)
де р = + j - змінна перетворення Лапласа. Згідно введеним позначенням величина комплексної змінної є абсцисою абсолютної збіжності. Якщо, то результатом інтегрування (2.2.11) буде кінцеве значення, яке є рішенням і оригіналу буде відповідати зображення. Тут застосовано позначення змінної перетворення Лапласа все тієї ж буквою р. У математичній літературі, як правило, мінлива перетворення Лапласа позначається буквою s. p = s - це третій сенс змінної р. залежно від контексту. p> Перетворення Лапласа має властивість лінійності, що полягає в тому, що зображення суми сигналів дорівнює сумі їхніх зображень, і якщо оригінал множиться на постійну величину, то і зображення також. Іншими словами, якщо z (t) = ax (t) + bу (t), то і Z (p) = aX (p) + bY (р). Згідно з теоремою про зображення похідних при нульових початкових умовах маємо
. (2.2.12)
Додатково зазначимо: теорему запізнювання
,
де - час попередження, а - час запізнювання сигналу;
- теорему згортки:
.
Зображення безперервних сигналів по Лапласа наведені в табл.2.2.1.
Оригінали та зображення безперервних сигналів по Лапласа
№ x (t) X (p) 1 d (t) 121 (t) 3t 4 5 6 7
Перейдемо тепер від диференціального рівняння (2.2.3), як від рівняння для оригіналів (функцій дійсного аргументу t - в даному випадку часом) до рівняння для зображень по Лапласа. Скориставшись властивістю лінійності, співвідношеннями (2.2.12) і аналогічними співвідношеннями для реакції системи після почленного переходу від оригіналів до зображень при нульових початкових умовах отримаємо рівняння для зображень
(anpn + ... + a0) Y (p) = (bmpm + ... + b0) X (p), (2.2.13)
Або
(p) Y (р) = B (p) X (p). (2.2.14)
Дані рівняння за зовнішнім виглядом нагадують рівняння (2.2.3), (2.2.4) для оригіналів. Однак мінлива р в них їм
. (2.2.15)
опір ланцюг перетворення Лапласа
Це відношення зображення виходу Y (p) до зображення входу X (p) по Лапласа при нульових початкових умовах називається передавальної функцією системи.
З (2.2.15) випливає, що
Y (p) = X (p) W (p), (2.2.16)
тобто в області зображень визначення реакції зводиться до алгебраїчної операції множення, що спрощує знаходження реакції.
Операторний метод рішення (за допомогою перетворення Лапласа) зводиться до трьох діям:
1. Від оригіналу x (t) за формулою (2.2.11) переходять до зображення Х (р). p>. Пo формулою (2.2.16) знаходять зображення реакції. p align="justify"> 3. За формулою зворотного перетворення Лаплас...
