мо:
В
Очевидно, в точці x = 5 знак похідної змінюється з плюса на мінус - це точка максимуму.
Відповідь: 5
Задача
На малюнку зображено графік похідної функції f (x), визначеної на відрізку [? 6; 4]. p align="justify"> Знайдіть кількість точок максимуму функції f (x), що належать відрізку [? 4; 3].
В
Рішення
З умови задачі випливає, що досить розглянути тільки частина графіка, обмежену відрізком [? 4; 3]. Тому будуємо новий графік, на якому відзначаємо лише кордони [? 4; 3] і нулі похідної всередині нього. А саме, точки x =? 3,5 і x = 2. Одержуємо:
В
На цьому графіку є лише одна точка максимуму x = 2. Саме в ній знак похідної змінюється з плюса на мінус. p align="justify"> Відповідь: 1
Невелике зауваження з приводу точок з нецілочисельне координатами. Наприклад, в останній завданню була розглянута точка x =? 3,5, але з тим же успіхом можна взяти x =? 3,4. Якщо завдання складена коректно, такі зміни не повинні впливати на відповідь, оскільки точки В«без певного місця проживанняВ» не приймають безпосередньої участі у вирішенні завдання. Зрозуміло, з цілочисельними точками такий фокус не пройде. br/>
3. Знаходження інтервалів зростання і спадання функції
У такій задачі, подібно точкам максимуму і мінімуму, пропонується за графіком похідної відшукати області, в яких сама функція зростає або убуває. Для початку визначимо, що таке зростання і спадання:
1. Функція f (x) називається зростаючою на відрізку [a; b] якщо для будь-яких двох точок x 1 і x 2 з цього відрізка вірно твердження: x 1 ? x 2 ? f (x 1 )? f (x 2 ). Іншими словами, чим більше значення аргументу, тим більше значення функції.
2. Функція f (x) називається спадною на відрізку [a; b] якщо для будь-яких двох точок x 1 і x 2 з цього відрізка вірно твердження: x 1 ? x 2 ? f (x 1 )? f (x 2 ). Тобто більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.
Сформулюємо достатні умови зростання і спадання:
1. Для того щоб безперервна функція f (x) зростала на відрізку [a; b], достатньо, щоб її похідна всередині відрізка була позитивна, тобто f (x)? 0.
2. Для того щоб безперервна функція f (x) убувала на відрізку [a; b], достатньо, щоб її похідна всередині відрізка була негативна, тобто f (x)? 0.
Приймемо ці твердження без доказів. Таким чином, отримуємо схему для знаходження інтервалів зростання і спадання, яка багато в чому схожа на алгоритм обчислення точок екстремуму:
1. Прибрати всю зайву інформацію. На вихідному графіку похідної нас цікавлять в першу чергу нулі функції, тому залишимо тільки їх.
2. Відзначити знаки похідної на інтервалах між нулями. Там, де f (x)? 0, функція зростає, а де f (x)? 0 - убуває. Якщо в задачі встановлені обмеження на змінну x, додатково відзначаємо їх на новому графіку.
. Тепер, коли нам відомо поведінку функції і обмеження, залишається обчислити необхідну в задачі величину.
В· Задача. На малюнку зображено графік похідної функції f (x), визначеної на відрізку [? 3; 7,5]. Знайдіть проміжки спадання функції f (x). У відповіді вкажіть суму цілих чисел, що входять в ці проміжки.
В
Рішення
Як звичайно, перекреслити графік і відзначимо кордону [? 3; 7,5], а також нулі похідної x =? 1...
