конання.
Завдання при обробці на ЕОМ проходить ряд кроків: компіляцію, редагування (компонування) і виконання.
Обробка результатів рішення задачі здійснюється за допомогою ЕОМ. Виведені результати оформлені у вигляді, зручному для сприйняття. br/>
В
1. Короткий опис сутності методу дотичних
(методу січних Ньютона)
Нехай на відрізку [a; b] відділений корінь з рівняння f (x) = 0 і f-функція неперервна на відрізку [a; b], а на інтервалі] a; b [існують відмінні від нуля похідні f 'і f ".
Так як f '(x) В№ 0, то запишемо рівняння f (x) = 0 у вигляді:
x = X - (f (x)/f '(x)) (1)
Вирішуючи його методом ітерацій можемо записати:
x n +1 = X n - (f (x n )/f '(X n )) (2)
Якщо на відрізку [a; b] f '(x) * f "(X)> 0, то нув - евое наближення вибираємо x0 = a. Розглянемо геометричний сенс методу. Розглянемо графік функції y = f (x). Нехай для визначеності f '(X)> 0 і f "(x)> 0 (рис. 1). Проведемо дотичну до графіка функції в точці B (b, f (b)). Її рівняння буде мати вигляд:
y = f (b) + F '(b) * (x - b)
Вважаючи в рівнянні y = 0 і враховуючи що f '(x) В№ 0, вирішуємо його відносно x. Отримаємо:
x = b - (f (b)/f '(b))
Знайшли абсциссу x 1 точки c 1 перетину дотичної з віссю ox:
x 1 = b - (f (b) - f '(b))
В
Проведемо дотичну до графіка функції в точці b 1 (x 1 ; f (x 1 )). Знайдемо абсциссу x 2 точки з 2 перетину дотичної з віссю Ox:
x 2 = x 1 - (f (x 1 )/(f '(x 1 ))
Взагалі:
x k +1 = x k - (f (x k )/f '(x k )) (3)
Таким чином, формула (3) дає послідовні наближення (X k ) кореня, одержувані з рівняння дотичній, проведеної до графіка функції в точці b k (x k ; f (x k 0 ) метод уточнення кореня c [a ; b] рівняння f (x) = 0 за допомогою формули (3) називається методом дотичній або методом Ньютона.
Геометричний сенс методу дотичних полягає у заміні дуги y = f (x) дотичній, однієї до однієї з крайніх точок. Початкове наближення x 0 = a або x 0 = b брати таким, щоб вся послідовність наближення х k належала інтервалу] a; b [. У випадку існування похідних f ', f ", що зберігають свої знаки в інтервалі, за х 0 береться той кінець відрізка [a; b], для якого виконується умова f '(х 0 ) * f (х 0 )> 0. Для оцінки наближення використовується загальна формула:
| c-x k -1 | ВЈ | f (x k +1 )/m |, де m = min <...
