ема - математичне пропозицію, істинність якого встановлюється за допомогою докази (міркування), логічного слідства інших пропозицій, прийнятих за достовірні.
Можна відзначити два підходу до розуміння теореми:
А.В. Погорєлов (геометрія "7-11") "Правильність твердження про властивість тієї чи іншої геометричної фігури встановлював шляхом міркування. Це міркування називається доказом. А саме твердження, яке доводиться, називається теоремою. ... Формулювання теореми зазвичай складається з двох частин. В одній частині йдеться про те, що дано. Це частина називається умовою теореми. В іншій частині йдеться про те, що має бути доведено. Ця частина називається висновком теореми ". p> Структура теореми, передбачувана В.П. Болтянский: а) роз'яснювальна частина, б) умова; в) висновок.
Наприклад, "якщо сума цифр числа n ділиться на 3, то саме число n ділиться на 3".
Умова: сума цифр числа n ділиться на 3
Висновок: саме число ділиться на 3.
Роз'яснювальна частина: n - будь-яке натуральне число.
Використовуючи логічну символіку, теорема представляється так:
- імплікація (якщо ..., то ...).
Маючи пряму теорему (), можна утворити нові теореми:
1. - Зворотна;
2. - Протилежна;
3. -Зворотна протилежній або контрапозітівная. p> Ці теореми володіють такими властивостями:
а) () і () - одночасно істинні або помилкові;
б) () і () - одночасно істинними чи хибні.
Висловлення p називається необхідним умовою для q, якщо імплікація () є істинне слідство. Наприклад, щоб число ділилося на 6, необхідно (Не недостатньо), щоб воно було парним.
p - парне число, q - число кратно 6. Гћ () - і. p> Висловлення p називається достатнім умовою для q, якщо імплікація () є істинне слідство. Наприклад, щоб число було кратно 5, достатньо, щоб воно було кратно 25. (Р: кратно 25; q: кратно 5) Гћ (pГћq)
Зауваження: Для визначення необхідно умова слід підібрати контр приклад, спростування цього твердження.
Умова р називається необхідним і достатнім для q, якщо істини одночасно обидві імплікації: (pГћq) і (qГћp), тобто має місце еквівалентність.
Характеристичне властивість найбільш повно визначає об'єкт, виділяючи його з деякої безлічі подібних об'єктів, дозволяє його сконструювати. p> Наприклад, характеристичне властивість арифметичної прогресії:
починаючи з другого члена, всі члени прогресії задовольняють властивості: - бути середнім арифметичним двох сусідніх з ним членів (або відстояти від нього на рівних відстанях)
Приклад необхідного і достатньої умови:
В
3 Методика вивчення теорем
Процес докази теорем і геометрії виражає зв'язок одиничних суджень (креслення) і загальних (Використання ...
