вняння коливань для тривимірного вектора пружного зміщення в суцільному середовищі з флуктуірует щільністю має вигляд
. (39)
Виконаємо в (39) перетворення Фур'є
. (40)
В (40) після інтегрування по виникає згортка.
, (41)
де
. (42)
У позначеннях (14), рівняння (41) прийме вигляд
. (43)
Так само, як і в одновимірному випадку модифікацію закону дисперсії будемо отримувати на основі теорії збурень, вважаючи параметр.
Запишемо формальне рішення рівняння (43)
. (44)
Підставляючи це рішення в підінтегральний вираз рівняння (43), отримаємо
. (45)
Враховуючи, що
, (46)
усереднена (45) за випадковим реалізаціям
. (47)
розчепити коррелятор і виконавши інтегрування по отримаємо
. (48)
Для оцінок виберемо експонентну кореляційну функцію та пов'язані з нею перетворенням Фур'є спектральну щільність (див. додаток 1)
;, (49)
Підставляючи (49) і (14) в (48), отримуємо
. (50)
Виконавши інтегрування в (50) за кутовими змінним, використовуючи сферичну систему координат, отримаємо
. (51)
Так само як і в одновимірному випадку.
Введемо позначення
. (52)
Цей інтеграл обчислимо методом відрахувань. Контур представлений на рис. 3. . br/>В
Рис. 4. Контур інтегрування. Обхід проти годинникової стрілки
Особливі точки-полюси першого порядку. В результаті маємо
. (53)
акустична хвиля флуктуірует щільність
Підставивши (53) в рівняння (51), отримаємо
. (54)
Вирішуючи це рівняння отримаємо модифікований закон дисперсії і загасання хвилі в наближенні Бурре.
Перепишемо (54) у безрозмірних величинах.
. (55)
. Тоді рівняння (55) від комплексної змінної, можна представити у вигляді системи двох рівнянь
(56)
Отримали нелінійну систему рівнянь, яку можна вирішувати чисельно. Ця система була вирішена за допомогою вкладеного в Maple 10 чисельного методу розв'язання систем рівнянь. p> Якщо в правій частині (54) покласти (розкладання Релея-Шредінгера), то маємо
. (57)
Таким чином, для модифікованого закону дисперсії отримуємо просте вираження, що збігається з відповідною формулою в [2].
. (58)
У безрозмірних величинах (57) приймає вигляд
. (59)
На рис.5 наведені криві: суцільні-наближення Бурі (рішення системи (56)), штрихові-наближення Релея-Шредінгера, точкова пряма-лінійний закон дисперсії. Було взято. br/>В
Рис. 5. Дисперсійні співвідношення. Суцільні криві-наближення Бурре (рішення системи (56)), штрихові криві-наближе...
