еорії лінійних коливань в системах з одним ступенем свободи, що мають постійні параметри. Цей матеріал використовується як довідковий і для зіставлення з результатами, отриманими з теорії нелінійних коливань. Друга тема присвячена легко інтегрованим нелінійним системам, на які не діють зовнішні сили, які залежать від часу. Тут за допомогою апарату фазовій площині детально вивчаються вільні коливання нелінійних систем. Наводиться короткий виклад теорії Пуанкаре про особливі точках диференціальних рівнянь першого порядку. Корисність поняття про особливу точці ілюструється рішенням ряду фізичних завдань. Нарешті, третя тема охоплює коливання вимушені, самоподдерживающиеся (автоколивання) і релаксаційні нелінійні коливання. Зокрема, буде обговорено застосування теорії Ван дер Поля до завдань синхронізації і стеження, а завершить главу розгляд рівняння Хілла. br/>
1. Вільні коливання в лінійних системах
Представляється цінним і цікавим підсумовувати основні особливості лінійних коливань. Існує ряд причин, щоб виконати це тут. Одна з наших принципових завдань полягає в зіставленні лінійних і нелінійних методів дослідження коливань. Крім того, склалася практика застосовувати, наскільки це можливо, термінологію, використовувану в лінійних задачах, і в нелінійних. Нарешті, корисно мати зведення основних ідей і формул лінійної теорії для зручності посилань. p align="justify"> Мабуть, найпростіший приклад задачі про лінійних коливаннях дає проста електрична схема, що складається з індуктивності , з'єднаної послідовно з ємністю і резистором (рис. 1). Механічний аналог, зображений на рис. 1, складається з тіла масою , прикріпленого до пружини, розвиваючої зусилля (зване повертає силою), пропорційне зміщенню тіла. Для цієї електричної системи, використовуючи закон Кірхгофа, маємо
. (1.1)
Якщо покласти, що тіло в механічній системі рухається в середовищі, яка чинить опір , пропорційне швидкості (в'язке тертя), то рівняння руху для коливань механічної системи задається співвідношенням
. (1.2)
За аналогією маємо, що ; ; і , причому струм є аналогом зміщення .
В
Рис. 1.Лінейная електрична і механічна системи
Вважаючи поки, що зовнішня сила і вводячи позначення
, (1.3)
