> наводимо (1.2) до виду
. (1.4)
Оскільки , коливання, обумовлені цим лінійним однорідним рівнянням, називаються вільними лінійними коливаннями. Загальне рішення лінійного рівняння з постійними коефіцієнтами є лінійна комбінація двох експоненційних функцій:
, (1.5)
де і - довільні константи, які визначаються початковими умовами, a і є корінням характеристичного рівняння
. (1.6)
Таким чином, і задані співвідношеннями
. (1.7)
Якщо ми хочемо представити рішення (1.5) у речовій формі, розглянемо три випадки, коли величина : а) речовинна, б) нуль, в) уявна. Легко показати, що рішення приймуть вигляд
, (1.8 - а)
, (1.8 - б)
, (1.8 - в)
де і - речові; і - довільні постійні, які визначаються завданням значень зміщення (струму ) і швидкості в деякий початковий момент .
Рівняння (1.8 - а) виникає на практиці найчастіше. Як легко бачити з (1.3), цей випадок має місце, якщо коефіцієнт демпфірування малий у порівнянні з . Рівняння (1.8 - а) у цьому випадку описує таке коливальний рух, що кожні два послідовних максимуму і зміщення < span align = "justify"> задовольняють співвідношенню
. (1.9)
Отже, якщо , то коливання загасають експоненціально з плином часу . Однак якщо (що відповідає негативному демпфіруванню чи негативному коефіцієнту тертя), коливання експоненціально наростають. Випадки, коли , найбільш поширені на практиці.
Якщо , система не має демпфірування і рух часто називають незатухающими коливаннями. Для цього випадку і
