адачі, і друга група - з товарність чисельного методу на ЕОМ. До першої групи відносяться такі вимоги, як збіжність чисельного методу, виконання дискретних аналогів законів збереження, якісно правильна поведінка рішення дискретної задачі. Друга група вимог, що пред'являються до чисельних методів, пов'язана з можливістю реалізації даної дискретної моделі на даній ЕОМ, тобто з можливістю отримати на ЕОМ рішення відповідної системи алгебраїчних рівнянь за прийнятний час. Основною перешкодою для реалізації коректно поставленого алгоритму є обмежений обсяг оперативної пам'яті ЕОМ і обмежені ресурси часу рахунку. p align="justify"> Реальні обчислювальні алгоритми повинні враховувати ці обставини, тобто вони повинні бути економічними як за кількістю арифметичних дій, так і по необхідному обсягу пам'яті.
Розглянемо чисельний метод рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь
(1)
де А - матриця, - шуканий вектор, - заданий вектор. Передбачається, що визначник матриці А відмінний від нуля, так що рішення x існує і єдино. Для більшості обчислювальних завдань характерним є великий порядок матриці А.
Методи чисельного рішення системи (1) поділяються на дві групи: прямі методи та ітераційні методи. У прямих (або точних) методах рішення х системи (1) знаходиться за кінцеве число арифметичних дій. Прикладом прямого методу є метод Гаусса. Зазначимо, що внаслідок похибок округлення при вирішенні завдань на ЕОМ прямі методи насправді не приводять до точного рішення системи (1) і називати їх точними можна лише відволікаючись від похибок округлення. Зіставлення різних прямих методів проводиться зазвичай за кількістю арифметичних дій (а ще частіше-за асимптотиці при великих m числа арифметичних дій), необхідних для отримання рішення. За інших рівних умов перевага віддається методу з меншим числом дій. p> Ітераційні методи (їх називають також методами послідовних наближень) полягають у тому, що рішення х системи (1) знаходиться як межа при послідовних наближень, де n - номер ітерації. Як правило, за кінцеве число ітерацій ця межа не досягається. Зазвичай задається деякий мале число (точність) і обчислення проводяться до тих пір, поки не буде виконана оцінка
(2)
Число ітерацій, яке необхідно провести для отримання заданої точності (тобто для виконання оцінки (2)), для багатьох методів можна знайти з теоретичних розглядів. Якість різних ітераційних процесів можна порівнювати по необхідному числу ітерацій. p> До вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь зводиться переважна більшість завдань обчислювальної математики. В даний час запропоновано колосальну кількість алгоритмів розв'язання задач лінійної алгебри, більшість з яких розраховане на матриці А спеціального виду (трехдіагональной, симетричні, стрічкові, великі розріджені матриці). p> Прямі методи не припускають, що матриця А має будь - якої спеціальний вид. На практиці вони застос...
