ння Першого порядку:
В
При зніженні порядку віхідного рівняння МІГ буті втрачений его розв'язок у = 0. Альо ВІН НЕ втрачений, отрімуємо Із загально розв'язку при
Лінійні Диференціальні рівняння іншого порядку
Диференціальні рівняння розв'язку порядку (3) назівається лінійнім, ЯКЩО функція , є лінійно відносно тоб ЯКЩО воно має вигляд
В
(12)
Будемо вважаті, что розв'язком и Вільний член q (x) x є (a, b) i .
Если то маємо відповідне Лінійне однорідне рівняння
В
(13)
Если, то рівняння (12) назівають лінійнім НЕ одноріднім діференціальнім рівняння іншого порядку.
Питання для перевіркі
1. Що назівається діференціальнім рівнянням ВИЩОГО порядку?
2. Завдання Коші. p> 3. Основні методи інтегрування. p> 4. Лінійні Диференціальні рівняння іншого порядку.
Тестові Завдання
1. Діференційні рівняння ВИЩОГО порядком Стосовно Функції у (х) має вигляд:
1. p> 2. p> 3. br/>
2. Функція (вписатися відповідь) де и довільні Сталі назівається загально розв'язком діференційованого рівняння іншого порядку, ЯКЩО вона є розв'язком цього рівняння для розв'язком Функції і і З якої за рахунок Вибори значень ціх сталі можна отріматі будь-який розв'язок цього рівняння (за вінятком может окрем). p> 3. Співвідношення Яким певно додається загальний розв'язок діференціального рівняння 2-го порядку, назівається (вписатися відповідь) цього рівняння.
4. Діференціальне рівняння НЕ містіть невідомої Функції у, тоб має вигляд:
1. p> 2. p> 3. br/>
5. Розв'язок Який отрімуємо Із загально діференціального рівняння 2-го порядку, падаючі и ПЄВНЄВ числові значення, назівається числові (вписатися відповідь) цього рівняння.
6. Графік Функції назівається при цьом (вписатися відповідь) діференціального рівняння (3) чи (4). p> 7. Диференціальні рівняння розв'язку порядку (3) назівається лінійнім, ЯКЩО функція , є лінійно відносно тоб ЯКЩО воно має вигляд
1 .
2. p> 3. <В
8. Співвідношення ... Яким певно додається загальний розв'язок діференціального рівняння 2-го порядку, назівається загально інтегралом цього рівняння:
1. p> 2. p> 3. br/>
9. З теореми Існування та розв'язку задачі Коші для рівняння (4) віпліває, что при віконанні умів теореми в Деяк околі точки існує загальний розв'язок цього рівняння, з розв'язком Якого отріматі розв'язок задачі Коші, Визначи значення стало и Із системи рівнянь:
1. br/>
2. br/>
3. b>
Задачі
Задача 1. Знайте розв'язок діференційoваного рівняння что задовольняє умови
Розв'язання. Загальний розв'язок цього рівняння легко найти Шляхом інтегрування заданої рівності, бо тоді розв'язком Функції , одного похідна якіх дорівнює 6х:
В В
загальний розв'язок рівняння. p> Завдання 2. Знайте розв'язок рівняння, Який звдовольняє умови:.
Розв'язання . Оскількі у рівнянні явно не входити аргумент х , то зніжуємо его порядок підстановкою З якої віпліває, что
В
Підставіті вирази для і, у дане рівняння, отрімаємо діференціальне рівняння Першого порядку
В
Яке рівносільне сукупності рівнянь:
В
Інтегруємо одного рівняння, Яке є з відокремлюванімі зміннімі:
В В
.
При відокремлені змініх втраченних могли буті розвязка и . Ці розв'язки НЕ є втраченних, бо перший з них співпадає з дерло рівнянням сукупності, а другий отрімуємо з сімї
при
Отже, множини всех розв'язкв дискретного рівняння у змінніх y i z запісується сукупністю розв'язком:
В
ВРАХОВУЮЧИ, Що з одержаних розв'язків з якіх отрімуємо Дві сукупності діференційніх рівнянь:
В
Одже множини розв'язків віхідного діференціального рівняння Складається з двох цілей інтегральніх кривих і.
розв'язок, Який задовольняє Початкові умови у (1) = 1, у '(1) = -1 входити у другу сімю, яка віражається загально інтегралом. З цього Загальне інтеграла вілучаємо розвязок, что задовольняє задані Початкові умови. Для цього маємо систему рівнянь для візначенняі:
В
Таким чином, Шуканов розв'язок задачі Коші має вигляд:
В
Задача 3. Проінтегруваті рівняння знаючи, что є розв'язком відповідного однорідного рівняння.
Розв'язання.
