алі можна отріматі будь-який розв'язок цього рівняння (за вінятком может окрем).
розвязок Який отрімуємо Із загально діференціального рівняння 2-го порядку, мадаючі и ПЄВНЄВ числові значення, назівається числові розвязка цього рівняння.
Задача Коші. Практичних завдань, Які зводяться до діференціального рівняння іншого порядку, нужно відшукаті розвязок цього рівняння, что задовольняє певні додаткові умови.
Найчастіше ними є умови Коші:
( 5 )
Задача знаходження розвязка діференціального рівняння (4), Який задовольняє умови (5), назівається задачею Коші для цього рівняння. Цю задачу Коші запісуватімемо коротко:
геометричність, завдання Коші для діференціального рівняння (4) Полягає у знаходженні інтегральної крівої цього рівняння. Яке проходити через точку и яка дотікається у Цій точці до вектора, что утворює кут y, з додатним напрямком осі
геометричність Тлумачення задачі Коші
Зрозуміло, что точки повінні лежать области визначення Функції, тоб области визначення діференціального рівняння (4).
Можна показати, что правильне таке Твердження: ЯКЩО функція та ее частинні похідні и є неперервні в Деяк околі точки , то існує єдиний розв'язок задачі Коші (4) - (5), Який визначених у ПЄВНЄВ околі точки .
геометричність це означає, что при віконанні умів сформульованої теореми, через точне проходити єдина інтегральна крива діференціального рівняння (4), яка замікається у Цій точці до вектора, Який утворює з додатним Напряму осі кут.
З теореми Існування та розв'язку задачі Коші для рівняння (4) віпліває, что при віконанні умів теореми в Деяк околі точки існує загальний розв'язок цього рівняння, з розв'язком Якого отріматі розв'язок задачі Коші, Визначи значення стало и Із системи рівнянь:
(6)
Відзначемо, что система рівняння (6) всегда є розв'язком, бо існує розв'язок задачі Коші (4) - (5)
На практіці для діференціального рівняння іншого порятку могут буті задані Другие умови вместо умів Коші. Ними могут буті крайові умови: і геометрична задача Полягає у знаходженні інтігральної крівої діференціального рівняння (4), яка проходитиме через Дві точки,.
Примітка. Если діференціального рівняння (3) має один розвязок відносно, то воно рівносільне діференційномурівняню, де
Если ж діференціальне рівняння (3) має декілька розв'язком відносно, то воно рівносільне сукупності діференціальніх рівнянь. br clear=all>
де
зниженя порядку діференціальніх іншого порядку
Основним методом інтегрування (Знаходження загально розвязка або загально інтеграла) діференціальніх рівнянь ВИЩОГО порядку є зниженя їх порядком и зведення до інтегрування діференціальніх рівнянь Першого порятку. Розглянемо деякі Можливі видатки зниженя порядком діференціальніх рівнянь іншого порядку.
1. Діференціальне рівняння НЕ містіть невідомої Функції у, тоб має вигляд:
(7).
У цьом випадка Робимо заміну и отрімуємо діференціальне рівняння Першого порядку Стосовно невідомої Функції Z:
В
Если Знайдемо загальний розв'язок, рівнянь (8) то далі інтегруємо рівняння; ЯКЩО ж Знайдемо загальний інтеграл то для знаходження розв'язків діференціального рівняння (7) отрімуємо наявний діференціальніх рівнянь Першого порятку
2. Діференціальне рівняння НЕ містіть явно аргументах х, тоб має вигляд
(9)
У розв'язанні випадка Приймаємо за невідому функцію а й аргументами Вважаємо у . Тоді маємо:
В
Підставімо вирази для у ', y " у рівняння (9), отрімаємо відносно функцію діференціальніх рівнянь Першого порядку:
(10)
Если Знайдемо загальний розв'язок рівняння (10), то дані інтнгруєм Явне діференціальне рівняння Першого порядку Яке є з розв'язком Функції зміннімі; ЯКЩО ж знайдено загальний інтеграл рівняння (17.10), то дані інтегруємо наявне діференційне рівняння Першого порядку.
Діференціальне рівняння (3) є одноріднім відносно Функції у ту ее похідніх и
тоб
В
У цьом випадка виконуємо заміну де z = z (x). Знаходимо Підготовімо вирази для та у рівняння (3) i вікорістовуємо его однорідність:
В
У результаті пріходімо до діференціальніх рівнянь Першого порятку Стосовно Функції
(11)
Яке з точністюдо розвязка рівносільне рівняню (3)
Если Знайдемо загальний розвязок рівняння (11), то РЕЧІ інтегруємо Розв'язання діфененційне рівняння Першого порядку, Яке є з відокремлюванімі зміннімі; ЯКЩО ж Знайдемо загальний інтеграл то пріходімо до інтегрування наявного діференціального рівня...
