ся рівняння, які неможливо вирішити за допомогою елементарних прийомів. Крім того, в інженерних розрахунках в більшості випадків не можна говорити про точне вирішенні рівнянь, тому що вхідні в них коефіцієнти задані наближено. Тому важливого значення набувають методи, що дозволяють знаходити корені рівняння (2.1) з будь-якою наперед заданим ступенем точності.
Задача знаходження наближеного значення кореня ділиться на два етапи:
) відділення коренів - виділення відрізка, що належить області
існування функції f (x), на якому розташований тільки один корінь;
) уточнення наближених коренів, тобто обчислення їх з необхідною
точністю.
Для кожного з етапів вирішення задачі розроблені свої чисельні методи.
2.1 Аналітичний метод відділення кореня
Процес відділення коренів рівняння (2.1) заснований на теоремі Больцано-Коші:
Якщо безперервна функція f (x) приймає на кінцях відрізка [а, b] значення різних знаків, тобто f (а)? f (b) <0, то всередині цього відрізка міститься, принаймні, один корінь. Цей корінь буде єдиним, якщо похідна f '(x) існує і зберігає постійний знак всередині інтервалу (а, b). p align="justify"> Розглянемо на прикладі аналітичний метод відділення кореня.
х 5 + 5х 4 < span align = "justify">-2х 3 -4x 2 +7 x-3 = 0
Рішення
Складемо таблицю знаків функції f (x) (табл. 2.1), вважаючи x рівним:
а) критичним значенням функції (коріння похідної) або близьким до них;
б) граничним значенням (виходячи з області допустимих значень невідомого).
Маємо. f '(x) = 5x 4 +20 x 3 -6x 2 -8x +7
Коріння похідної. x = -7, х = -1, x = 7/5, x = 1, x = 7
Таблиця 2.1 - Таблиця знаків функції
-? -7-1 +17/5 +7 +? --- + + + +
З таблиці 2.1 видно, що рівняння має один дійсний корінь: X01 (-1; 1).
Отже, X01 (-1; 1).
2.2 Уточнення наближеного кореня
Бажаємий корінь рівняння (2.1) відділений, тобто знайдений відрізок [а, b], на якому є один і тільки один корінь рівняння. Будь-яку точку цього відрізка можна прийняти за наближене значення кореня. Похибка такого наближення вбирається довжини [а, b]. Отже, завдання відшукання наб...
