лиженого значення кореня з заданою точністю E зводиться до знаходження відрізка [а, b], що задовольняє умову
| b-а | (2.2)
Це завдання називають завданням уточнення кореня. На практиці широке поширення одержали наступні методи:
1) метод половинного поділу;
2) метод Ниотона (метод дотичних);
3) метод хорд;
4) комбінований метод хорд і дотичних;
5) метод простої ітерації.
.3 Метод дотичних (метод Ньютона)
Метод Ньютона, або метод дотичних, є найбільш часто вживаним методом уточнення коренів, придатним для вирішення алгебраїчних і трансцендентних рівнянь. p align="justify"> Надалі будемо вважати, що шуканий корінь x 0 рівняння (2.1) відділений відрізком [а, b], на якому функція f (x) задовольняє таким умовам:
) неперервна разом зі своїми похідними до другого порядку, включно;
) на кінцях відрізка приймає значення різних знаків;
) похідні відмінні від нуля і зберігають певний знак.
Геометрично це означає, що графік функції у = f (x) у будь-якій точці відрізка [а, b] має дотичну і не має екстремумів і точок перегину (рис. 2.1).
В
Рис. 2.1 - Графік функції у = f (x)
За перше наближення кореня покладемо таке значення x1, (x1 [а, b]), при якому знаки функції f (x1) і її другої похідної f'' (x1) співпадуть, і через точку M1 (X1, f ( x1)) проведемо дотичну до кривої. Рівняння дотичної:
- f (x1) = f '(x1)? (x - x1).
Знайдемо точку x2 перетину дотичної з віссю абсцис. Враховуючи, що
y2 = 0, отримаємо
f (x1) = f '(x1)? (x2-x1).
Звідси отримуємо друге наближення кореня
x2 = x1 - f (x1)/f '(x1).
Через точку M2 (x2, f (x2)) знову проводимо дотичну до кривої, точка перетину якої з віссю Ох дасть нам третє наближення кореня, і т. д.
Продовживши описаний процес побудови дотичних і в обчислення точок їх перетину з віссю Ох, отримаємо формулу ітераційного методу Ньютона:
, n = 1, 2, 3, ... (2.3)
Якщо перше наближення вибрано досить близько до кореня, то метод Ньютона завжди сходиться.
Зазначимо одне важливе достатня умова збіжності методу Ньютона. Нехай f (a)-f (b) <0, а f '(x) і f'' (x) відмінні від нуля і зберігають певні знаки на відрізку [а, b]. Тоді для будь-якого х [а, b], що задовольняє умові:
f (x 1 ) f'' (x 1 )> 0,
