Якщо в умові теореми 3 нерівність замінити нерівністю, то її твердження також буде мати місце. p> Доказів. Оскільки відкидання декількох перших членів ряду не впливає на його збіжність, з самого початку можна вважати, що. Перемножая всі нерівності з умови теореми до номера включно, приходимо до нерівностей виду
,.
Застосовуючи теорему 3, отримуємо необхідний результат щодо рядів і, а так як множення всіх членів ряду на одне і те ж число, відмінне від нуля, не впливає на збіжність, теорема доведена. [1].
Ознаки збіжності Даламбера, Коші, інтегральний ознака збіжності
Теорема 5 (ознака Даламбера). Нехай для членів ряду, починаючи з деякого номера, виконані умови:
.;
., де.
Тоді ряд сходиться. Якщо ж при всіх замість нерівності 2 маємо, то ряд розходиться. p> Доказ. Порівняємо ряд зі збіжним рядом, де. При маємо
.
Тому перше твердження теореми 5 випливає з теореми 4.
У другому випадку треба покласти для всіх. Тоді зважаючи расходімості ряду і нерівностей
В
з тієї ж теореми 4 випливає расходимость ряду. Теорема доведена. [1], [2], [5]. p> Теорема 6 (ознака Даламбера в граничній формі). Розглянемо ряд з умовою для всіх. Покладемо
,.
Тоді при всіх ряд сходиться, а при - розходиться.
Доказ. Розглянемо спочатку перший випадок. Покладемо. Тоді. Оскільки, при деякому маємо
.
Отже, ряд сходиться чинності першого твердження теореми 5.
Розглянемо тепер другий випадок. Покладемо. Тоді маємо. Оскільки, при деякому маємо оцінку
.
Тим самим ряд розходиться по другому твердженням теореми 5. Теорема доведена. [1]. p> Зауваження. При питання про збіжність ряду в теоремах 5 і 6 залишається відкритим. Для прикладу можна вказати на ряди і, один з яких сходиться, а інший - розходиться, але в обох випадках маємо. Для дослідження збіжності подібних рядів потрібні більш В«тонкіВ» ознаки, які будуть розглянуті пізніше. p> Кілька тонкий ознака дає наступна теорема.
Теорема 7 (ознака Коші). Якщо для членів ряду з умовою, починаючи з деякого номера, має місце нерівність, де число і фіксовано, то ряд сходиться. p> Якщо ж для нескінченно багатьох маємо, то цей ряд розходиться.
Доказ. Розглянемо спочатку перший випадок. Послідовно маємо,, і так як, то ряд сходиться за ознакою порівняння разом з низкою. p> У другому випадку для нескінченної кількості значень маємо,. Це означає, що і ряд розходиться, оскільки умова необхідної ознаки збіжності ряду (при) не виконується. Теорема доведена. [1], [2], [5]. p> Теорема 8 (ознака Коші в граничній формі). Нехай
,
де при всіх.
Тоді при ряд сходиться, а при - розходиться.
Доказ. Покладемо спочатку і припустимо, що. Тоді при деякому маємо
.
Тому п...
