огічного та діалогічного математичної мови.
Тип уроку: Урок з вивчення та первинному закріпленню нових знань і способів діяльності.
Хід уроку: Вступне слово вчителя:
Починати дослідження можна по-різному. Все одно початок майже завжди виявляється досить недосконалою, нерідко безуспішною спробою. Є істини, як країни, найбільш зручний шлях до яких стає відомим лише після того, як ми випробуємо всі шляхи. На шляху до істині ми майже завжди робимо помилки. Не бійтеся здійснювати ці помилки. Пропонуйте будь-які шляхи, на перший погляд навіть смішні, наука знає чимало випадків, коли саме таким чином відбувалися відкриття. p> 1. Постановка проблеми:
2. Повторення теорії з даної проблематики:
Визначення : Функція F (x) називається первісною для функції на заданому проміжку I, якщо для всіх х з цього проміжку
Основна властивість первообразной: Будь первісна для функції (x) на проміжку I може бути записана у вигляді F (x) + C, де F (x) - одна з первісних для функції на проміжку I, а C-довільна постійна.
Правила перебування первообразной:
Г? (1)
Г? (2)
Г? (3)
Г? (4)
Необхідно так само згадати правила знаходження похідної: нам доведеться доводити, що знайдена нами функція дійсно відповідає визначенню первообразной, а для доказу потрібні знання з правил знаходження похідної.
Г? (5)
Г? (6)
Г? (7)
Г? (8)
3. Підбір інструментів для дослідження :
Дії (всі арифметичні, диференціювання, інтегрування ..). Тотожності (всі відомі учням, включаючи формули ...). p> Функції (можна перерахувати елементарні, але всіх конструкцій з елементарних функцій перерахувати неможливо).
Це наші інструментальні Лќ ящики Лќ. З них ми будемо витягувати інструменти та з їх допомогою домагатися мети.
Процес дослідження :. p> Знайдемо хоча б одну первообразную, тобто будемо в подальших міркуваннях вважати C = 0. Учні запропонують наступне: Потрібно знайти тотожності типу:
, впливати на них інструментом, і якщо інтеграл для функції g (x) (тобто правої частини) знайдеться - то задача вирішена. Згадуємо такі тотожності. Знайоме тільки одне:. Проінтегрував обидві частини, переконуємося, що цілі домогтися не вдалося, треба шукати інше тотожність. Відомих тотожностей, де було б доданком (щоб її висловити), немає. А наша завдання якраз і полягає в тому, щоб в тотожності було доданком ! Завдання ускладнилася. Тепер доведеться таке тотожність конструювати, створюючи модель . Відкриваємо ящик - функції . Яку з них узяти? Поки незрозуміло. Візьмемо в загальному вигляді -. Почнемо створювати (використовуючи ящик дії ) модель : Перше речення буде таким:
Наприклад: - це наша модель.
Впливаємо на модель інструментом - диференціювання. Будемо мати:
- так, доданка ми так і не отримали . Інші впливу (ідей буде багато, і все потрібно ретельно розглянути - часу на це багато не потрібно) навряд чи приведуть до потрібного результату (з'явиться або ступінь, або корінь ..). Потрібно змінити модель. Візьмемо в якості моделі конструкцію: Впливаємо на модель інструментом - диференціювання (інші дії (спроба - не тортури), а учні будуть їх пропонувати, навряд чи приведуть до виділення шуканого доданка, але ми розглядаємо всі пропозиції досконально, поки не зайдемо в глухий кут.). Маємо:
- все добре, якби не множник. Тоді було б доданком. Але - довільна функція. Яку ж функцію взяти, щоб Ясно, що т.к Поправимо модель:
У процесі впливу на модель інструментом диференціювання отримаємо:
В В
Далі:. Тепер інтегруємо - для цього ми і виділяли доданок . Отримаємо:
- наша спроба увінчалася успіхом. p> Отримано: Отже, однією з первісних логарифмічною функції буде , а безліч всіх первісних:
4. Обробка отриманого результату : Залишилось показати, що = . Доказ:
що і треба було довести! У процесі дослідження нами була виведена формула, яку навряд чи ми знайдемо в літературі з математики, але її цінність і красу важко перебільшити. Повернемося до тотожності. З нього маємо:. Вважаючи в цій формулі отримаємо:. Тепер проинтегрируем:
але
або в звичному для хлопців вигляді:
Використовуючи отримані знання, вважаючи у формулі, отримаємо:
В
Задача: При якому значенні параметра> 1 площа, обмежена лініями дорівнює 1?
Рішення: Побудуємо зазначені лінії.
В
Тоді 1
За умовою
але
,
В
Відповідь: При
Домашнє завдання: Використовуючи формулу проведіть повне дослідження для знаходження br/>...
