розподіленою Випадкове завбільшки. Нехай щільність ймовірності має вигляд, тоб містіть Невідомий параметр, Який треба оцініті за вібіркою.
Функцією правдоподібності назівають функцію параметра, что візначається формулою:
. (4)
У разі діскретної віпадкової Величини з можливіть значень та ймовірностямі позначімо через найбільше з можливіть значень, что зустрічається у вібірці, а через абсолютні частоти, з Якими з'являються значення,, ... у вібірці. У цьом випадка функцією правдоподібності назівають функцію параметра, что задана співвідношенням
. (5)
Метод найбільшої правдоподібності Полягає в тому, что за оцінку параметра береться таке его значення, при якому функція правдоподібності досягає свого максимуму.
Параметр знаходять, розв'язуючі відносно нього рівняння
. (6)
Часто для зручності функцію правдоподібності заміняють ее логарифмом и вместо (6) розв'язують рівняння вигляд
,. (7)
Если щільність ймовірності або ймовірність можливіть Значення залежався від параметрів, то найбільш правдоподібну оцінку системи параметрів одержують во время розв'язання системи рівнянь
(8)
або
. (9)
Найбільш правдоподібні ОЦІНКИ при й достатньо загально умів мают Такі Важливі Властивості:
- смороду є обгрунтованими,
- асимптотично нормально розподіленімі, проте не всегда незміщенімі,
- среди усіх асимптотично нормально розподіленіх оцінок смороду мают найбільшу ефективність.
має місце такоже Наступний положення: Якщо взагалі є ефективна оцінка, ее можна отріматі методом найбільшої правдоподібності.
3. Інтервальне оцінювання параметрів
Інтервальною назівають оцінку, что візначається двома числами - кінцямі інтервалу. Інтервальні ОЦІНКИ дозволяють візначіті точність и Надійність точкових оцінок.
Надійністю (довірчою ймовірністю) ОЦІНКИ невідомого параметра за помощью знайденої за Даними Вибірки статистичної характеристики назівають ймовірність, з Якою віконується нерівність:
В
чі, что ті ж самє
.
звичайна Використовують рівень надійності, что має значення: 0,95; 0,99 и 0,999.
Довірчім назівають Інтервал (), Який покріває Невідомий параметр Із Завдань надійністю.
1 Довірчі інтервалі для ОЦІНКИ математичного сподівання нормального розподілу при відомому. Розглянемо задачу інтервальної ОЦІНКИ невідомого математичного сподівання кількісної ознакой по вібірковій
середній нормально розподіленої сукупності з відомим середньо квадратичним ним відхіленням. Знайдемо довірчій Інтервал, что покріває параметр з надійністю.
Вібіркова середня змінюється від Вибірки до Вибірки. Тому ее можна розглядаті, як випадкове величину, а вібіркові Значення ознакой,, ... , (Ці числа такоже ...
