мо
В
Диференціюючи (1.1.14) за, знаходимо
В
Отже, по (1.1.4) маємо
В
або
В
і вираз (1.1.2) для елементапрінімает вид
В
Це вираз відомо як ізотропна форма метрики Шварцшильда, оскільки, прийнявши в, можна знайти, що координатна
швидкість світла в точці х, що задається формулою
В
однакова у всіх напрямках.
2. УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧНИХ
Можна показати (див. Додаток В), що рівняння, що визначають геодезичні, виводяться із звичайних рівнянь Ейлера - Лагранжа, які в координатах Шварцшильда мають вигляд
В В
де-лагранжіан,
В
а точка зверху позначає диференціювання по
Рівняння (1.2.1) дає безпосередньо
В
Або
В
де-постійна інтегрування.
Формула (1.2.2) приводить до наступного виразу, висновок якого міститься у Додатку В:
В
Примножуючи (1.2.2) векторно на, отримуємо
В
внаслідок того чтотакое чином,
В
де Н - постійна, а h - постійний одиничний вектор. З останнього рівняння випливає, що геодезична лежить у площині, перпендикулярної h, а кутовий момент по відношенню до власному часу залишається незмінним. Кутовий момент постійний тільки в координатах Шварцшильда. У довільній метриці, для якої рівняння (1.2.6) має вигляд
В
права частина якого не є постійною, оскільки x - функція
За цих умовах (1.2.6) еквівалентно рівнянню
В
і, отже, рівняння геодезичної (1.2.5) в координатах Шварцшильда приймає вигляд
В
2.1 Рівняння енергії
Множення рівняння (1.2.9) скалярно нас подальшим інтегруванням дає
В
де-постійна інтегрування.
Це вираз можна також отримати, ісключаяіз (1-2.4) і (1.2.3), з умовою, чтоето призводить до
В
Внаслідок того що
В
і
В
ліва частина (1.2.11) удвічі перевищує ліву частину (1.2.10) і, слідчий!; про,
Счітаяв точці, гдеіз (1.2.10) знаходимо
В
де
В
2.2 Шкали часу
Рівняння (1.2.4)-диференціальне, що зв'язує координатне і власний час. З урахуванням (1.2.11) маємо
В
Есліопределено інтегруванням формули (1.2.9), то можна знайти, отже, отримати після інтегрування виразу (1.2.15) як функцію
Необхідно також висловити диференціальне рівняння (1.2.15) через координатну скоростьПрінімая в (1.2.11)
В
з урахуванням (1.2.4) отримуємо
В
Формули (1.2.15) і (1.2.16) можна вивести діленням формули (1.2.32) на, відповідно,
3. Ньютонова НАБЛИЖЕННЯ
Приймаючи в рівнянні (1.2.9) отримаємо відомий вислів для прискорення під дією закону всесвітнього тяжіння Ньютона
В
Тут ми ототожнюємо де-постійна тяжіння, а - центральна маса. У цьому випадку відповідно до (1.1.13...
