ті в порівнянні з основним методом Ньютона (3.1.2), оскільки, будучи приватним випадком МПІ (), він має лише швидкість збіжності геометричній прогресії.
Компромісний варіант - це обчислення і звернення матриць Якобі не на кожному ітераційному кроці, а через кілька кроків (іноді такі методи називають рекурсивними). ​​
Наприклад, просте чергування основного (3.1.2) і модифікованого (3.2.1) методів Ньютона призводить до ітераційної формулою
(3.2.2)
де k = 0,1,2, ... За тут приймається результат послідовного застосування одного кроку основного, а потім одного кроку модифікованого методу, тобто двоступеневого процесу
(3.2.3)
Доведено, що такий процес за певних умов породжує кубічно сходящуюся послідовність ().
3.3 Метод Ньютона з послідовною апроксимацією матриць
Задачу звернення матриць Якобі на кожному k-му кроці методу Ньютона (3.1.2) можна спробувати вирішувати не точно, а наближено. Для цього можна застосувати, наприклад, ітераційний процес Шульца, обмежуючись мінімумом - всього одним кроком процесу другого порядку, в якому за початкову матрицю приймається матриця, отримана в результаті попереднього (k-1)-го кроку. Таким чином приходимо до методу Ньютона з послідовною апроксимацією зворотних матриць:
(3.3.1)
де k = 0,1,2, ..., а і - початкові вектор і матриця (). Цей метод (називатимемо його більш коротко ААМН - аппроксімаііонний аналог методу Ньютона) має просту схему обчислень - почергове виконання векторних в першому рядку і матричних у другому рядку його записи (3.3.1) операцій. Швидкість його збіжності майже так само висока, як і у методу Ньютона. Послідовність () може квадратично сходитися до вирішення рівняння F (x) = 0 (при цьому матрична послідовність () також квадратично сходиться до, тобто в нормально розвивається ітераційному процесі (3.3.1) повинна спостерігатися досить швидка збіжність () до нуля ).
Застосування тієї ж послідовною апроксимації зворотних матриць до найпростішого рекурсивному методом Ньютона (3.2.2) або, що те ж, до двоступінчастим процесу (3.2.3) визначає його аппроксімацірнний аналог
(3.3.2)
як і (3.2.2), також можна віднести до-методам третього порядку. Доказ кубічної збіжності цього методу вимагає вже більш жорстких обмежень на властивості F (х) і близькість до, до, ніж у попередньому методі. Зауважимо, що до поліпшення збіжності тут може призвести підвищення порядку апроксимації зворотних матриць, наприклад, за рахунок додавання ще одного доданка у формулі для підрахунку:
В
.4 Різницевий метод Ньютона
На базі методу Ньютона (3.1.2) можна побудувати близький до нього з поведінки ітераційний процес, що не вимагає обчислення похідних. Зробимо це, замінивши приватні похідні в матриці Якобі J (x) різницевими відносинами, тобто підставивши у формулу (3.1...
