.1) замість матрицю де В
При вдалому завданні послідовності малих векторів (постійної або сходящейся до нуля) отриманий таким шляхом різницевий (або інакше, дискретний) метод Ньютона має Сверхлінейний, аж до квадратичної, швидкість збіжності та узагальнює на багатовимірний випадок метод. При завданні векторного параметра h - кроку дискретизації - слід враховувати точність машинних обчислень (macheps), точність обчислення значень функцій, середні значення одержуваних наближень. br/>
3.5 Узагальнення полюсного методу Ньютона на багатовимірний випадок
Перекладемо висновок одновимірного полюсного методу Ньютона на векторну основу. Дотичну до кривої в точці () задамо умовою ортогональності поточного вектора цієї прямої і її нормального вектора, в якості якого можна взяти вектор. Рівняння прямої, що проходить через полюс і пов'язану з уже відомим наближенням точку (), отримаємо з умови коллинеарности поточного вектора цієї прямої і її направляючого вектора. Таким чином, точку перетину двох прямих, проекцію якої на вісь абсцис вважаємо новим наближенням, знаходимо з сукупності умов
(3.5.1)
Перша з цих умов означає рівність нулю скалярного твору (n, u), друге - пропорційність відповідних координат векторів v і l або, інакше, рівність нулю складеного з них визначника. Отже, шукане наближення є перша компонента вектора, службовця рішенням лінійної системи
(3.5.2)
(друга компонента - ордината точки перетину вказаних прямих - після обчислення значення може дати інформацію про відхилення від функції в точці її локальної аффинной моделі, якою є проведена в точці дотична). Ясно, що отримується з системи (3.5.2) значення тотожне його. p> Розглянутий векторний підхід до побудови одновимірного полюсного методу Ньютона служить ключем для його поширення на двовимірний випадок на основі таких же геометричних, але вже просторових міркувань.
Нехай потрібно знайти наближене рішення двовимірної нелінійної системи в припущенні безперервної діфференцируємості входять до неї функцій f (x, у) і g (x, у) в деякій області G, що містить шукане рішення х * = (х *; у *) і наближення до нього k = 0,1,2, ....
Будемо вважати, що вже знайдено k-е наближення до вирішення х * й потрібно отримати правило переходу до (k +1)-му наближенню. У зробленому припущенні про гладкості функцій f (x, у) і g (x, у) можна провести дотичні площини в точці () визначаються ними поверхням
z = f (x, y) і z = g (x, y). (3.5.3)
Ці площини задаються поточними векторами
В
і нормалями
В
відповідно, тобто аналогічно першому з умов (3.5.1) має бути
інакше,
. (3.5.4)
Перетин двох дотичних площин, тобто образ, який визначається рівняннями (3.5.4), є пряма в тривимірному просторі, загальна точка якої з координатної площиною Оху є ньютоновским наближенням до вирішення х * Систем...
