а
Припустимо, що х - власний вектор, а відповідне йому власне значення лінійного оператора . Тоді . Виберемо в просторі небудь базис , і нехай , а матриця оператора А в цьому базисі А = [ ]. Тоді
В
звідки, зважаючи єдиності розкладу вектора по базису
В
Для існування ненульового розв'язку цієї (однорідної) системи необхідно і достатньо, щоб її визначник дорівнював нулю:
В
Або, більш коротко,
. (5)
Рівняння (4) називається характеристичним рівнянням матриці А; воно служить для знаходження власних значень , які називаються також характеристичними корінням матриці А (або власними значеннями матриці А). Знайшовши з (4) будь власне значення , ми можемо знайти відповідний власний вектор із системи рівнянь (3). Добутий числовий вектор
лінійний оператор рівняння площину
В
задовольняє рівнянню , називається також власним вектором матриці А.
1.4 Квадратичні форми
квадратичною формою від декількох змінних називається однорідний многочлен другого ступеня від цих змінних. Наприклад, квадратична форма від змінних в загальному випадку має вигляд
, (6)
де - деякі числові коефіцієнти (а двійки поставлені для спрощення які утворюються формул). Матрицею такої форми називається симетрична матриця.
В
Будемо розглядати як декартові координати в деякому базисі . Якщо перейти до нового Декартова базису то і в формі (6) треба зробити заміну змінних, при чому матриця Т переходу буде ортогональної. У результаті форма буде виражена через нові координати , можна довести, що при цьому нова матриця виражається через стару за формулою
(7)
Відомо, що базис можна вибрати так (взявши в якості цих векторів власні вектори оператора, відповідального матриці А, тобто власні вектори матриці), що матриця А ' вийде діагональної
В
Але тоді квадратична форма в нових змінних ...
