набуває вигляду
(8)
де - характеристичні корені матриці А.
Можна сказати, що квадратичну форму (6) можна за допомогою ортогонального перетворення призвести до діагонального вигляду (8).
2. Основні методи вирішення
.1 Спрощення рівнянь другого порядку на площині
Перетворення квадратичної форми застосовується, зокрема, до спрощення рівнянь ліній і поверхонь другого порядку. Розглянемо рівняння поверхонь. p align="justify"> Нехай на площині задана прямокутна декартова система координат . Якщо х і у - координати довільної точки на площині в даній системі координат, то, як відомо,
(I) рівняння визначає еліпс;
(II) рівняння - точку;
(III) рівняння - порожній безліч точок
(уявний еліпс);
(IV) рівняння - гіперболу;
(V) рівняння - пару пересічних прямих;
(VI) рівняння ( ), - параболу;
(VII) рівняння ( ) - пару паралельних прямих ;
(VIII) рівняння ( ) - пару злилися прямих;
(IX) рівняння ( ), - порожній безліч точок.
Рівняння (Г) - (IX) називаються канонічними рівняннями фігур другого порядку на площині.
Рівняння (I) - (III) визначають фігуру еліптичного типу. рівняння (IV), (V) - гіперболічного типу, рівняння (VI) - (IX)-параболічного типу.
Розглянемо рівняння другого порядку
, (11)
.
Безліч точок площини, координати яких задовольняють рівняння (11), утворює деяку фігуру. Покажемо, що це рівняння визначає одну з фігур (I) - (IX). Для цього знайдемо рівняння фігури (11) у системі координат ( ), де вектори і отримані з векторів і ортогональним перетворенням з матрицею переходу Т
В В
При цьому формул...
