span align="justify"> D x1 = 0, D x2 = 0;., D xn = 0
З цієї системи випливає, що однорідна система має єдине нульове рішення, якщо? 0, якщо ж D = 0, то з умов випливає, що вона має незліченну безліч рішень. p> Теорема. Для заданої однорідної системи рівнянь, для якої, де - число невідомих, існує лінійно незалежних рішень і будь-яке рішення системи представляється у вигляді лінійної комбінації цих рішень. p> Максимальне число лінійно незалежних рішень однорідної системи називається фундаментальною системою рішень цієї системи рівнянь.
- фундаментальна система рішень однорідної системи рівнянь (Ф.С. Р.). Вона містить рішень і виходить з спільного рішення, якщо вільним змінним надавати послідовно значення:. Отримана таким чином фундаментальна система називається нормованою. p> Звернемо увагу, що рішення однорідних систем здійснюється тими ж методами, що і неоднорідних.
1.1.3 Структура загальних рішень однорідної і неоднорідної системи рівнянь
Теорема 1. Загальні рішення однорідної системи рівнянь
, де, - число невідомих, представляється у вигляді:
,
де - вільні постійні,, - фундаментальна система рішень.
Теорема 2. Загальні рішення неоднорідної системи рівнянь
представляється у вигляді:
,
де - деяке приватне рішення неоднорідної системи, - спільне рішення відповідної однорідної системи.
.2 Основні методи розв'язання систем лінійних рівнянь
1.2.1 Матричний метод рішення систем лінійних рівнянь
Матриці дають можливість коротко записати систему лінійних рівнянь. Нехай дана система з 3-х рівнянь з трьома невідомими:
В
Розглянемо матрицю системи
В
і матриці стовпці невідомих і вільних членів
В
Знайдемо твір
В
тобто в результаті твору ми отримуємо ліві частини рівнянь даної системи. Тоді користуючись визначенням рівності матриць дану систему можна записати у вигляді
В
або коротше A? X = B.
Тут матриці A і B відомі, а матриця X невідома. Її і потрібно знайти, тому що її елементи є вирішенням даної системи. Це рівняння називають матричним рівнянням. p align="justify"> Нехай визначник матриці відмінний від нуля | A |? 0. Тоді матричне рівняння вирішується таким чином. Помножимо обидві частини рівняння ліворуч на матрицю A-1, зворотний матриці A: . Оскільки A-1A = E і E? X = X, то отримуємо рішення матричного рівняння у вигляді X = A-1B.
