вати у вигляді або, бажаючи підкреслити, що є варіація деякого функціоналу I, у вигляді
(7)
Варіаційне рівняння (7) зазвичай називають рівнянням Лагранжа.
З варіаційного рівняння Лагранжа слід замкнута система рівнянь суцільного середовища, а також і крайові умови.
Варіаційні рівняння і варіаційні принципи
У деяких випадках варіаційне рівняння зводиться до рівності виду і означає, що дія I має стаціонарне значення на дійсному процесі.
Варіаційні принципи справедливі, як уже зазначалося, для всіх фундаментальних фізичних полів, а також для макроявищ, які можна вважати оборотними. Останнє, мабуть, пов'язано з тим, що осредненное опис процесів, в яких відсутня "необоротна стохастичность", можна дати за допомогою безпосереднього осреднения мікроскопічного дії. p> Дія в фізичних проблемах є інтегральним функціоналом з лагранжіаном, залежних від польових змінних і кінцевого числа їх похідних по координатах і часу. Якщо лагранжіан залежить від uk і перших похідних uk, то система рівнянь варіаційного типу записується таким чином:
В
Таку форму мають, зокрема, рівняння електродинаміки, гравітації, рівняння механіки ідеальної рідини, рівняння теорії пружності. У всіх цих теоріях система рівнянь повністю визначається завданням однієї функції - лагранжіана. p> Важлива особливість явищ, описуваних рівняннями з варіаційної структурою, - взаємність фізичних ефектів. Якщо в розгляд включено перехресне взаємодія між двома полями, то дія одного поля на інше автоматично породжує протилежне і, в деякому розумінні, симетричне вплив. Наприклад, якщо лагранжіан містить перехресний член, то в рівнянні для поля u1 з'явиться "сила" з боку поля 2, рівна u2.tt, а в рівнянні для поля u2 - "симетрична" їй "сила" з боку поля 1, рівна u1.tt. У зв'язку з цим у всіх випадках, коли взаємодія нетривіально, варіаційний підхід стає єдиним способом побудови фізично розумних рівнянь. p> рівнянь, які враховують незворотні процеси, мабуть, також властива спеціальна структура. Для малих відхилень від положення термодинамічної рівноваги на це вказує принцип Онсагера. У варіаційних термінах принцип Онсагера означає, що функціонал має спеціальний вигляд:
В
де коефіцієнти симетричні по k, k '.
Принцип мінімуму потенційної енергії
Хай під дією масових сил і поверхневих сил тіло об'ємом обмежене поверхнею знаходиться в рівновазі, а його деформований стан визначається переміщеннями
Згідно з принципом можливих переміщень для суцільних середовищ, робота всіх зовнішніх і внутрішніх сил на малих можливих переміщеннях точок тіла зі стану його рівноваги дорівнює нулю. Це формулювання принципу можливих переміщень для суцільних середовищ еквівалентна наступного твердження. p> Робота всіх зовнішніх сил на малих можливих переміщеннях дорівнює зміні потенційної ене...
