завданням, що представляє істотний інтерес для різних інженерних розрахунків, виділяють проблему власних значень для матриці А, тобто завдання обчислення сингулярних чисел (можливо, і сингулярних векторів). Для завдань подібного роду є окрема група алгоритмів. br/>
2.1 Повна проблема власних значень
При постановці проблеми власних значень для матриць, елементи яких задані наближено, природно виникає питання про стійкість отриманого рішення, іншими словами, питання про те, як змінюються власні значення і власні вектори при зміні елементів даної матриці в межах допустимої похибки.
Те, що в окремих випадках проблема власних значень не може бути стійкою, ясно з таких міркувань. Припустимо, що дана матриця, якщо її чисельну завдання розглядати як точне, має лише прості власні значення, однак, при деякому певному зміні її елементів в межах точності завдання можна прийти до матриці, що має кратне власне значення, з нелінійним елементарним дільником. У цьому випадку канонічна форма матриці при зміні її елементів в межах точності завдання зазнає якісну зміну, переходячи від суто діагональної форми до загальної канонічної формі. Зокрема, навіть число власних векторів змінюється стрибкоподібно. У цих умовах, звичайно, повна проблема власних значень, разом з визначенням власних векторів, просто втрачає сенс. В умовах же, близьких до описаної ситуації, проблема визначення власних векторів напевно не має сталого рішення. p align="justify"> Для здійснення зазначеного перетворення А. Н. Крилов вводить в розгляд диференціальне рівняння, пов'язане з даною матрицею; одночасно він ставить питання про знаходження чисто алгебраїчного перетворення, що переводить рівняння.
З'ясуванню алгебраїчної сутності перетворення А.Н.Крилова присвячені роботи Н.Н.Лузіна [1], [2], І.Н.Хлодовского [1], Ф.Р. Гантмахер [1], Д.К.Фаддеева [1]. br/>
.2 Часткова проблема власних значень
У часткової проблемі власних значень, яка складається, як було сказано вище, у визначенні одного або декількох, як правило небагатьох, власних значень матриці і належних їм власних векторів. Своєрідність часткової проблеми полягає в тому, що методи для її рішення повинні грунтуватися на непрямих міркуваннях, що використовують ті чи інші властивості власних значень і власних векторів. Всі методи для вирішення часткової проблеми є ітераційними методами. p align="justify"> Для побудови цих методів використовуються дві, по суті різні, основні ідеї.
Першу ідею ми пояснимо в припущенні, що в просторі існує базис з власних векторів. Виходячи з деякого вектора, взагалі кажучи, довільного, будують нескінченну послідовності все більш переважала одна складова в розкладанні за власними векторами. Тоді побудована послідовність буде сходитися за напрямом до виділеного власному вектору. Попутно визначається і власне значення. ...
