Якщо m f (x, y) M, то
S - площа області D, а m і M - відповідно найменше і найбільше значення функції f (x, y) в області D.
Правила обчислення подвійних інтегралів.
Розрізняють два основних види області інтегрування.
Область інтегрування D обмежена зліва і справа прямими x = a і x = b (a =? 1 (x) і y =? 2 (x ) (? 1 (x) ? 2 ( x)), кожна з яких перетинається вертикальної прямої тільки в одній точці (рис.1).
В
Рис. 1
Для такої області подвійний інтеграл обчислюють за формулою
причому спочатку обчислюють внутрішній інтеграл в якому x вважають постійним.
Область інтегрування D обмежена знизу і зверху прямими y = c і y = d (c =? 1 (y) і x =? 2 (y) (x =? 1 (y) x =? 2 (y)), кожна з яких перетинається горизонтальної прямої тільки в одній точці (рис.2).
В
Рис. 2
Для такої області подвійний інтеграл обчислюють за формулою
Причому спочатку обчислюють внутрішній інтеграл в якому y вважають постійним. Праві частини зазначених формул називають дворазовими (або повторними) інтегралами.
1.1 Заміна змінних у подвійному інтегралі
Подвійний інтеграл у полярних координатах:
Перетворення подвійного інтеграла від прямокутних координат x, y до полярних координат ?,?, <...
