ераційний процес сходження до кореня реалізується рекурентною формулою
(1.10)
Процес пошуку продовжуємо до тих пір, поки не виконається умова:
(1.11)
Спростимо умова (1.11), виходячи з (1.10). Отримаємо:
(1.12)
Метод забезпечує швидку збіжність, якщо виконується умова:
(1.13)
тобто першу дотичну рекомендується проводити в тій точці інтервалу [a, b], де знаки функції f (x 0 ) і її кривизни f В»(x 0 ) збігаються.
Метод хорд
Короткий опис.
Метод заснований на заміні функції f (x) на кожному кроці пошуку хордою, перетин якої з віссю Х дає наближення кореня. Сімейство хорд може будуватися:
а) при фіксованому лівому кінці хорд, тобто z = a, тоді початкова точка х 0 = b;
б) при фіксованому правому кінці хорд, тобто z = b, тоді початкова точка х 0 = a.
Розглянемо докладніше.
У даному методі процес ітерацій полягає в тому, що в якості наближень до кореня рівняння приймаються значення х 1 , х 2 , ..., х n точок перетину хорди АВ з віссю абсцис. Спочатку запишемо рівняння хорди AB :
. (1.14)
Для точки перетину хорди AB з віссю абсцис ( х = х 1, y = 0) одержимо рівняння:
(1.15)
Нехай для визначеності f'' ( x )> 0 при а х b (випадок f'' ( x ) <0 зводиться до нашого, якщо записати рівняння у вигляді - f ( x ) = 0). Тоді крива у = f ( x ) буде опукла вниз і, отже, розташована нижче своєї хорди АВ . Можливі два випадки: 1) f ( а )> 0 (Мал. 1.4, а ) і 2) f ( b ) <0 (Мал. 1.4, б ).
В
Рис. 1.4, а, б
У першому випадку кінець а нерухомий і послідовні наближення: x 0 = b ;
(1.16)
утворюють обмежену монотонно спадну послідовність, причому
