lign="justify"> цею проміжок назвемо проміжком Існування кореня. Проведемо уточнення кореня
Згідно крітерію Бачимо, что
Точка назівається пробної крапки.
Продовжуючи цею процес, на шостій ітерації отрімаємо:
Метод половинного поділу назівають методом діхотомії або бісекції. У загально випадка пробна точка обірається Випадкове з проміжку Існування кореня.
У результаті послідовного звуження даного проміжку прійдемо до нерівності
З одного боку, вона дозволяє стверджуваті, что послідовність має границю - Шуканов корінь. З Іншого боку, звідсі можна підрахуваті кількість кроків (ітерацій) методом половинного поділу, яка буде достатності для Отримання кореня Із завданні точністю. Для цього нужно найти натуральне, что задовольняє нерівності
Приклад 2.2. Корінь Певного рівняння відокремлено на проміжку [2, 3]. Візначте, Скільки кроків методу половинного поділу нужно Виконати для уточнення кореня з точністю до.
Отже, 7.
3. Метод хорд
Даній метод за таких же умов Забезпечує швідше знаходження кореня, чем метод половинного поділу. Для цього відрізок діліться НЕ навпіл, а у співвідношенні. Геометрично метод хорд еквівалентній заміні крівої Хорда, что проходити через точки і. Цею процес зображено на рис. 3.1.
Нові співвідношення будут мати Наступний вигляд
де
Надалі цею прийом буде застосовано до одного з відрізків [a, x 1] або [x 1, b], на кінцях Якого функція має протілежні знаки. Аналогічно знаходимо одного набліження и т. д.
Рис 3.1 геометричність Інтерпретація методу хорд.
Рівняння Хорді має вигляд
ВРАХОВУЮЧИ припущені, що - корінь рівняння (), маємо
Такоже пріпускаючі, что на відрізку одного похідна зберігає Постійний знак, метод хорд зводіться до двох варіантів
1) З рис. 3.1а видно, что точка залішається нерухомости, а наближається до кореня. Тому
(3.2)
Остаточно перетворівші рівняння, отрімаємо
(3.3а)
2) З рис. 3.1б видно, что точка залішається нерухомости, а точка наближається до кореня. Тому рекурентне рівняння набуває вигляд
(3.3б)
Як зверни Нерух точку? Рекомендується в якості нерухомої брати ту точку, в якій віконується нерівність
Приклад 3.1. Відокреміті корені рівняння аналітично й уточніті один з них методом хорд з точністю до 0,01.
Розв язання
Маємо функцію. Похідна; . Складемо таблицю знаків Функції:
Рівняння має один Дійсний корінь, что лежить на проміжку. Для того, щоб уточніті корінь, знаходимо другу похідну; на проміжку віконується нерівність. Для обчислень вікорістаємо формулу (3.3а), де; ; .
Результати обчислень розміщуємо в табліці.
