яких рівняння (1.1) має тільки одне рішення.
У більшості випадків відділення коренів можна провести графічно. Для цього досить побудувати графік функції і визначити відрізки, на яких функція має тільки одну точку перетину з віссю абсцис.
У сумнівних випадках графічне відділення коренів необхідно підкріплювати обчисленнями. При цьому можна використовувати наступні очевидні положення: якщо безперервна функція приймає на кінцях відрізка значення різних знаків (тобто), то рівняння (1.1) має на цьому відрізку щонайменше один корінь;
якщо функція до того ж і строго монотонна, то корінь на відрізку єдиний.
1.3 Метод половинного поділу
Нехай рівняння (1.1) має на відрізку єдиний корінь, причому функція на даному відрізку неперервна (малюнок 1.1).
Розділимо відрізок навпіл точкою. Якщо, то можливі два випадки:
- функція змінює знак на відрізку;
функція змінює знак на відрізку.
Вибираючи в кожному випадку той відрізок, на якому функція змінює знак, і, продовжуючи процес половинного ділення далі, можна дійти до як завгодно малого відрізка, що містить корінь рівняння.
Малюнок 1.1 - До пояснення методу половинного ділення
Приклад 1.1
Рішення в пакеті Mathcad методом половинного ділення рівняння
1. Завдання функції:
2. Побудова графіка функції (Малюнок 1.2).
Рисунок 1.2 - Графік функції
3.Заданіе функції, що реалізує метод половинного ділення (Малюнок 1.3). Тут аргументи функції: - ім'я функції, - ліва і права координати кінців відрізка;- Точність обчислення кореня.
4.Вичісленіе значення кореня рівняння:
5. Перевірка знайденого значення кореня:
Для розгляду процесу знаходження кореня рівняння в динамка необхідно зберегти значення кореня на кожному кроці обчислювальної процедури і побудувати залежність значення кореня від номера кроку. Функція, що повертає значення кореня на кожному кроці методу половинного ділення, представлена ??на малюнку 1.4. Аргументи функції: - ім'я функції, - ліва і права координати кінців відрізка,-точність обчислення кореня.
Малюнок 1.3 - Функція, що реалізує метод половинного поділу
Малюнок 1.4 - Функція, що реалізує метод половинного ділення і повертає значення кореня рівняння на кожному кроці процесу обчислень
Після створення функції необхідно доповнити описаний вище документ наступною послідовністю команд.
1. Обчислення матриці, перший стовпець якої містить номер ітерації, другий - значення кореня:
2. Візуалізація залежності значення кореня від номера кроку обчислювальної процедури (малюнок 1.5).
Малюнок 1.5 - Залежність значення кореня від номера кроку обчислювальної процедури
1.4 Метод простої ітерації
Замінимо рівняння (1.1) рівносильним рівнянням
. (1.4)
Нехай - корінь рівняння (1.4), а, отримане будь-яким способом нульове наближення до кореня. Підставляю...
